等价无穷小的巧用

陈金涛

【摘要】灵活使用等价无穷小可以在很多问题的解决上起到意想不到的效果，本文通过巧妙使用等价无穷小解决未定式极限、正项级数敛散性等方面的问题.

【关键词】等价无穷小;未定式极限;敛散性

等价无穷小是高等数学学习中很重要的一个内容，它为解决一些比较棘手的问题提供了解决的思路，本文通过灵活使用等价无穷小另辟蹊径找到解决未定式极限、正项级数敛散性等方面的问题.

一、巧用无穷小等价替换定理

定理1 （无穷小等价替换定理）在同一变化趋势下，α，α′，β，β′都是无穷小，且α～α′，β～β′，则有

limαβ=limα′β′.

此定理易理解，主要用于在同一变化趋势下，分子、分母中乘积因子是无穷小时，可用其等价无穷小替换.

例1 求极限 limx→0cosx-e-x22x2[2x+ln（1-2x）].

分析 本题的难点在于对2x+ln（1-2x）的处理上，因为该式是当x→0时的无穷小，因此，如能找到它的等价无穷小，问题就变得简单了，故大胆假设该式与x2是当x→0时的同阶无穷小，则有

limx→02x+ln（1-2x）x2=limx→02+-21-2x2x

=limx→02-4x-22x（1-2x）

=limx→0-21-2x

=-2，

故当x→0时，2x+ln（1-2x）～-2x2，则

原式= limx→0cosx-e-x22x2·（-2x2）

=limx→0-sinx-e-x22·（-x）-8x3

=limx→0sinx-xe-x228x3

=limx→0cosx-e-x22-xe-x22·（-x）24x2

=limx→0-sinx-e-x22·（-x）+2xe-x22+x2e-x22·（-x）48x

=limx→0-sinx+3xe-x22-x3e-x2248x

=limx→0-sinx48x+limx→0e-x2216-limx→0x2e-x2248

=-148+116+0

=124.

二、巧将等价无穷小与麦克劳林级数相结合

在例1中我们发现，虽然处理的过程很巧妙，但依然过于烦琐，没有进行系统的规律总结，题型进行变化时，又需要重新寻找等价无穷小，不易掌握，为此我们给出解决这类问题的第二种思路.首先给出一个定理：

定理2 如果函数f（x）在点x=0的某邻域内有定义，且在点x=0处任意次可导，则有

f（x）=f（0）+f′（0）x+f″（0）2！x2+…+f（n）（0）n！xn+o（xn）（x→0），

且当x→0时，∑nk=0f（k）（0）k！xk+o（xn）～∑nk=0f（k）（0）k！xk.

下面我们使用定理2的思想来解例1.

解 因为cosx=1-12x2+124x4+o（x4），

e-x22=1-12x2+18x4+o（x4）.

又ln（1-2x）=-2x-2x2+o（x2），

2x+ln（1-2x）=-2x2+o（x2），

故有x2[2x+ln（1-2x）]=-2x4+o（x4），因此，

原式= limx→ 01-12x2+124x4+o（x4）-1-12x2+18x4+o（x4）-2x4+o（x4）

=limx→0-112x4+o（x4）-2x4+o（x4）

=limx→0-112x4-2x4

=124.

三、巧用无穷小等价替换定理的变形

定理3 在同一变化趋势下，若α，α′，β，β′都是无穷小，且α～α′，β～β′，则有：

（1）若α与β不是等价无穷小，则α-β～α′-β′;

（2）若α与β是等价无穷小，则α-β与α′-β′未必等价.

推论 在同一变化趋势下，若α，α′，β，β′，γ，γ′都是无穷小，且α～α′，β～β′，γ～γ′则有：

（1）若α与β是等价无穷小或α与γ是等价无穷小，则α-β-γ～α′-β′-γ′;

（2）若α与β不是等价无穷小，α-β与γ不是等价无穷小或α与γ不是等价无穷小，α-γ与β不是等价无穷小，则α-β-γ～α′-β′-γ′;

（3）若α与β不是等价无穷小，α-β与γ是等价无穷小或α与γ不是等价无穷小，α-γ与β是等价无穷小，但α-β-γ与α′-β′-γ′未必等价.

证明 （1）若α与β是等价无穷小，则有

limαβ=limα′β=1，故

limα-β-γα′-β′-γ′=limαβ-1-γβα′β-β′β-γ′β

=lim1-1-γβ1-1-γ′β

=limγβγ′β

=1，

即α-β-γ～α′-β′-γ′.

類似地，当α与γ是等价无穷小时，命题也成立.

（2）由题意可设：若limα-βγ=c（c≠1且是常数），则

limα-β-γα′-β′-γ′=limα-βγ-1α′-β′γ-γ′γ

=limα-βγ-1α-βγ-1

=c-1c-1

=1.

若limα-βγ=∞，则limγα-β=0，故有

limα-β-γα′-β′-γ′=lim1-γα-βα′-β′α-β-γ′α-β

=lim1-γα-β1-γα-β

=1-01-0

=1.

即α-β-γ～α′-β′-γ′.

类似地，当α与γ不是等价无穷小，α-γ与β不是等价无穷小时，命题也成立.

（3）（反证举例法）当x→0时，sin3x，sin2x，sinx都是等价无穷小，显然

sin3x-sin2x-sinx与3x-2x-x=0不是等价无穷小.

故命题得证.

例2 求极限 limx→0sin5x-sin3x-sinxtanx+tan3x+tan5x.

解 原式=limx→0sin5x-sin3x-sinxtanx-tan（-3x）-tan（-5x）

=limx→05x-3x-xx-（-3x）-（-5x）

=limx→0x9x

=19.

四、巧用等价无穷小判断正项级数的敛散性

定理4 设∑∞n=1un和∑∞n=1vn是两个正项级数，当n→∞时，un与vn都是无穷小，且un～kvn（k≠0，k为常数），则∑∞n=1un与∑∞n=1vn有相同的敛散性.

例3 判定级数∑∞n=112n2+1的敛散性.

解 当n→∞时，12n2+1～12n.

又级数∑∞n=11n发散，

由定理4知，级数∑∞n=112n2+1发散.

五、结 论

通过等价无穷小在以上几方面的运用，可以看出活用等价无穷小确实可以将问题化繁为简，要掌握好这些知识，需要我们平时一点一点地钻研与挖掘.

【参考文献】

[1]同济大学数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]尤青.无穷小性质与应用研究[J].连云港职业技术学院学报，2010（2）：10-11+57.