全概率公式的教学研究

李春娥 张晓 徐翔燕

【摘要】全概率公式是理论和应用相结合的知识点.通过对学校所在城市附近的塔里木河河水的含沙量的计算，激发学生学习全概率公式的兴趣和潜能，引入计算复杂事件概率的思想——“分类讨论，化繁为简”，引入划分概念和全概率公式后，以学生非常关心的大四考上研究生和找到工作的概率为例题，进行探讨和研究.

【關键词】分类讨论;全概率公式;划分

【基金项目】塔里木大学高等教育教学改革研究项目“课程思政”示范课程的课堂教学质量评价体系研究（TDGJYB1934）;塔里木大学应用多元统计分析“课程思政”示范课项目（2201029069）;塔里木大学重点课程项目“高等数学”220101405）.

全概率公式以条件概率公式、乘法公式和概率的有限可加性为基础，全概率公式又是贝叶斯公式的基础，因此，全概率公式在概率论中是非常重要的公式之一，也是考研内容之一.

在实际的生活中，常遇到难以用概率的有限可加性、乘法公式等直接计算出的复杂概率，怎么办呢？考虑将复杂事件分解为多个部分，如果每个部分的概率能够比较容易地计算，再把每个部分的概率求和，便得到了复杂事件的概率.

一、实际问题驱动，激起学习兴趣

在回顾条件概率和乘法公式后，播放“远方的家”录制的“中国第一大内流河，塔里木河源头的介绍”，其内容为：塔里木河全长2 179千米，由发源于天山的阿克苏河，发源于昆仑山的叶尔羌河、和田河汇流而成.塔里木河自西向东蜿蜒于塔里木盆地北部，上游地区大多流经起伏不平的戈壁荒漠，所以来自冰山的融水含沙量大，河水很不稳定，被称为“无缰的野马”.通过这一小小的视频让学生了解塔里木河的源头和塔里木河河水的特点，同时激起学生学习的兴趣.接着提出以下问题.

问题1 已知阿克苏河、和田河和叶尔羌河的含沙量和流量比（见表1），试计算塔里木河河水的含沙量是多少？

分析 易知三河交汇后塔里木河的河水含沙量为

P=710×3.86+210×9.85+110×3.2=4.992 kg/m3.

交汇后的含沙量，是原来各支流含沙量的加权求和，其权重就是各支流的流量比.

求解的过程充分体现了分类讨论、化繁为简的思想，使学生掌握其求解思想.在概率论与数理统计中也常遇到求复杂事件的概率，是否也可以用分类讨论、化繁为简、化整为零的思想解决复杂事件的概率问题呢？由于要分类，下面引出划分的概念.

二、全概率公式及其应用

定义[1] 设Ω为试验E的样本空间，A1，A2，…，An为E的一组事件，若

（1）A1∪A2∪…∪An=Ω;

（2）Ai∩Aj=，

则称A1，A2，…，An为样本空间Ω的一个划分，或称为一个完备事件组.

从Venn图上解释划分的概念，关键在于对样本空间进行分开和分完，另外，样本空间的划分是不唯一的.

定理（全概率公式）[2] 若A1，A2，…，An为样本空间Ω的一个划分，且P（Ai）>0，i=1，2，…，n对Ω中的任一事件B，有

P（B）=∑ni=1P（Ai）P（B|Ai）.

证明见参考文献[2].

分析 从内容上来看，事件B发生的概率不易直接求得，但积事件AiB（i=1，2，…，n）的概率通过乘法公式可以求得，即条件概率P（B|Ai），P（Ai）在题目中已知或通过简单计算易求.

从Venn图上对全概率公式进行直观的解释，事件B与样本空间Ω的一个划分A1，A2，…，An的每一部分都有交集，直接求事件B的概率没有头绪，通过求积事件AiB（i=1，2，…，n）概率的和，求得事件B的概率，这里积事件AiB（i=1，2，…，n）的概率是通过乘法公式求得的.如果视A1，A2，…，An为“原因”，那么B就是“结果”，每个原因都可能导致B发生，故发生B的概率是各原因引起B发生的概率的总和.

问题2 假设你大四报考新疆大学的研究生，你能否通过建立模型利用全概率公式，计算自己考上新疆大学研究生的概率？

分析 带领学生思考哪些主要因素影响考研复习，对这些主要因素（如学习环境、学习态度、教师教学水平和学校的管理等）的重要性赋予合理的权重，在这些因素的影响下对考上新疆大学研究生的概率（即条件概率）进行赋值.

大四时考上研究生的概率是学生非常关心的问题之一，能够引起学生对未来的关注.学生不仅“学其概率”，而且在生活中“用其概率”，使学生了解到全概率公式还可以对未来进行预测.假设某大四学生在考研笔试成绩出来后，得知有一门课程没过线，你能否帮他计算一下，他找到工作的概率，具体问题如下.

问题3 我校某名大四学生在南疆、北疆和疆外找工作的概率分别是50%，30%和20%，而在南疆、北疆和疆外被聘用的概率分别是0.9，0.4和0.1，试求该毕业生找到工作的概率.

解 设A1={毕业生在南疆找工作}，

A2={毕业生在北疆找工作}，

A3={毕业生在疆外找工作}，

B={毕业生找到工作}.

由题意知

P（A1）=50%，P（A2）=30%，P（A3）=20%，

P（B|A1）=0.9，P（B|A2）=0.4，P（B|A3）=0.1.

由全概率公式得

P（B）=∑3i=1P（Ai）P（B|Ai）

=50%×0.9+30%×0.4+20%×0.1

=0.59.

该毕业找到工作的概率仅为0.59，如果该毕业生提前决定只在南疆找工作，则他找到工作的概率为0.9.因此，在兵团向南发展亟须大量人才的大背景下，鼓励学生扎根边疆，为南疆经济社会的发展贡献一分力量.

思考：若已知该名毕业生找到工作，求他在南疆工作的概率是多少？由此引出贝叶斯公式.

三、总 结

全概率公式用于求复杂事件B的概率，求解的方法是将复杂事件B分解为n个部分，即样本空间的一个划分与事件B的n个积事件，选择的样本空间划分要便于计算积事件的概率，积事件的概率利用乘法公式计算，再对其概率求和.其求解的过程体现了分类讨论、化繁为简的数学思想.从另一方面来说，全概率公式用于已知每个因素发生的概率和每个因素发生的条件下结果发生的概率，求结果发生的概率，即全概率公式用于“由因索果”事件.

在学习的过程中，使学生知其概率的基本理论，培养学生运用概率方法，建立简单的概率、统计模型解决实际问题的能力，提升逻辑推理能力、自主学习的能力，增强创新能力和应用能力，进而提高学生的数学素质，为学生今后学习专业课程打下必要的数学理论基础.最终，达到培养创新型、复合型、应用型人才的目的.

【参考文献】

[1]茆诗松，程依明，濮晓龙.概率论与数理统计教程：第2版[M].北京：高等教育出版社，2011.

[2]盛骤，谢式千，潘承毅，等.概率论与数理统计：第4版[M].北京：高等教育出版社，2011.