带攻角约束的高超声速飞行器自适应反步控制器设计

董朝阳，刘 扬，王 青

(1. 北京航空航天大学航空科学与工程学院，北京 100191；2. 北京航空航天大学自动化科学与电气工程学院，北京 100191)

0 引 言

高超声速飞行器因其巨大的军事和民用应用价值，受到广泛关注[1]。而控制技术作为高超声速飞行器的关键技术之一[2]，给研究人员带来了许多挑战。

当前，高超声速飞行器的控制设计已经取得了一定的研究成果。通过使用反步法[3]，滑模控制[4-5]，反馈线性化[6]等先进控制方法，高超声速飞行器的非最小相位特性[3-4]，强非线性[6]，大不确定性[3-6]等问题得到了有效的处理。需要指出的是，上述控制器设计都旨在保证飞行器的高度以及速度的指令跟踪性能，而忽视了对攻角的限制。然而，配备超燃冲压发动机的高超声速飞行器对攻角非常敏感[7]，只有攻角位于适合的区间内时，超燃冲压发动机才能正常工作，否则会带来进气道不启动以及热力壅塞等问题，严重降低飞行性能[8]。

针对攻角约束这一问题，传统的方法是事先设计好一条标称弹道，让飞行器沿着弹道飞行。然后设计合适的控制器参数，使得整个飞行过程中满足攻角约束要求。然而这样的方法依赖离线设计，运算量大。文献[9]提出的障碍函数近来被用于解决状态约束问题。需要指出的是，障碍函数仅能保证虚拟指令的跟踪误差在预设范围之内，比如文献[10]中使用障碍函数对高度和速度跟踪误差进行限制。因此，为了限制系统状态，还需保证虚拟指令的有界。文献[11]使用基于障碍函数的方法解决了状态约束问题，但是依赖于虚拟指令有界的假设。文献[12]使用数值方法对虚拟指令上界进行估计解算，但是同时增大了计算负担。文献[13]通过在反步法构造障碍Lyapunov函数，并使用指令滤波器对虚拟指令限幅，解决了攻角约束问题。但是攻角约束是通过分别约束航迹倾角以及俯仰角实现的，设计流程较为复杂。此外，针对攻角约束的研究大多是考虑固定、对称的攻角约束。但在实际情形中，发动机的理想工作条件往往是非对称的，且是根据不同飞行状态、任务而变化的。

本文提出了一种基于非对称时变障碍Lyapunov函数[14]的自适应反步控制方法。不同于文献[13]中的思路，本文直接对攻角进行约束，设计流程得到简化。不同于文献[12,15]对虚拟指令进行假设或估计的方法，本文使用光滑的类饱和函数对名义攻角指令进行限幅，避免了估计带来的保守性与复杂性，并设计了辅助系统补偿攻角指令限幅带来的影响。此外，本文研究的攻角非对称时变约束也更加符合实际情形。针对反步法中虚拟指令信号反复求导引起的“微分爆炸”问题，本文使用了滑模微分器进行估计。估计误差与高超声速飞行器模型中的不确定性与外扰一并视作集中干扰，通过自适应律进行估计与补偿。

1 高超声速飞行器模型

选取典型高超声速飞行器纵向模型[6]

(1)

式中：V，h，γ，α，q分别表示速度、高度、航迹倾角、攻角、俯仰角速率；g为重力加速，Iyy为俯仰转动惯量，m为飞行器质量；T，L，M，D分别为推力、升力、俯仰力矩、阻力，其具体表达式为：

(2)

为了便于后续的控制器的设计与分析，引入下述引理。

引理1[9]. 对于任意正数kb，如果有e∈R且|e|

(3)

引理2[13]. 对于任意δ>0以及ε∈R，下列不等式成立：

(4)

2 控制器设计

2.1 控制目标

本文研究带攻角约束的高超声速飞行器控制问题。控制目标为：1)控制器能够保证飞行器稳定，且能够实现对指令信号的良好跟踪;2)在飞行过程中，攻角满足预设的时变非对称攻角约束条件。

通过系统分解思想[16]，高超声速飞行器纵向模型可以分解为速度子系统与高度系统分别进行设计。本文研究重点是攻角状态限制问题，而攻角状态属于高度子系统。另一方面，速度子系统阶数较低，设计过程相对简单。因此对速度子系统采用动态逆控制器以使得其保持稳定，设计与仿真省略，而将研究重心放在高阶、需要考虑攻角约束的高度子系统中。

2.2 模型简化

定义x1=γ,x2=α,x3=q，依据参考文献[17]，首先将航迹倾角跟踪指令取为：

(5)

式中：kh，khi为待设计的控制器参数；eh=h-hc为飞行器对高度指令信号hc的跟踪误差。

为了应用反步法，需要将原模型化为严反馈形式。为此，引入以下假设：

假设1[16]. 通常情况下Tsinα远小于L，因此Tsinα项可以忽略。

注1.对于本文采用的模型数据[6]，以及其适用的状态量范围(见文献[6]中的表1)，可以计算验证该假设是成立的。

当满足假设1时，高度子系统内环模型可以表示为：

(6)

假设2.式(6)中的干扰di，i=1,2,3有界，且|di|

2.3 高度控制器设计

采用反步法对高度子系统每一通道进行设计。具体过程为：

1) 定义航迹倾角跟踪误差，则其导数为：

(7)

为了实现攻角约束，采用光滑的类饱和函数对名义攻角指令x2r进行限幅，函数表达式为：

x2f=

(8)

式中：x2f是限幅后的输出，满足-Al

注2.相对于传统饱和函数sat(·)，式(8)可以保证x2f是光滑的，从而避免了求导运算中奇异现象的产生。

定义限幅攻角跟踪误差e2=x2-x2f和限幅造成的攻角指令误差为：Δx2r=x2f-x2r。那么式(7)可以表示为：

(9)

为了补偿虚拟指令饱和对系统的影响，设计如下的辅助补偿系统：

(10)

进一步定义补偿误差信号z1=e1-ξ1，则其导数为：

(11)

设计虚拟攻角指令x2r为：

(12)

(13)

式中：l1>0和b1>0为待设计的自适应律增益。

定义如下Lyapunov函数：

(14)

对W1求导，并利用引理2化简可得：

(15)

2) 对限幅攻角的跟踪误差e2=x2-x2f求导：

(16)

(17)

(18)

定义角速率指令跟踪误差e3=x3-x3r,设计虚拟俯仰角速率指令x3r为：

(19)

(20)

式中：β2>0为待设计的控制器参数，ka>0与kb>0为预先设定的e2的时变边界：

-ka(t)

(21)

ka与kb可以根据任务需求设定。

(22)

式中：l2>0和b2>0为待设计的自适应律增益。

将式(19)代入式(16)，化简可得：

(23)

定义如下的时变非对称对数障碍函数：

(24)

(25)

由ω(e2)的定义可知：

(26)

(27)

结合式(22)、(23)、(26)、(27)以及引理1和引理2，式(25)可进一步简化为：

(28)

3) 对角速率指令跟踪误差e3=x3-x3r求导可得：

(29)

(30)

式中：ζ31∈R与ζ32∈R为微分器的状态量；r31>0与r32>0为待设计的参数；类似地，有

(31)

设计控制律u为：

(32)

(33)

式中：l3>0和b3>0为待设计的自适应律增益。

将式(32)、(33)代入式(29)，化简可得：

(34)

进而定义Lyapunov函数：

(35)

(1-ω)τa]+g2e3[ωτb+(1-ω)τa]+

(36)

2.4 稳定性分析

假设3.e2初值满足初始时变约束，即-ka(0)<α(0)

定理1.对于高度子系统(6)，在满足假设1～3的前提下，采用式(12)、(19)、(32)所示的控制律以及式(13)、(22)、(33)所示的自适应律，则闭环系统满足下述性质：

1)式(37)包含的所有误差信号一致最终有界。

2)攻角x2始终位于指定的非对称时变边界内，即：-Al-ka(t)

证. 选取整个闭环子系统的Lyapunov函数为：

WH=W1+W2+W3

(37)

对式(37)求导，代入式(15)、(28)、(36)，化简复杂的可消除项，可得：

(38)

由于

(39)

式(38)可进一步化简为：

(40)

式中：

κH=min{2k1,l1,2k2,l2,2k3,l3}

对式(40)两边同时积分，可得：

(41)

由于-ka(0)<α(0)

(42)

-ka(t)

(43)

又由于已知e2=x2-xf，且-Al

-Al-ka(t)

(44)

证毕。

3 仿真校验

本节通过对比仿真校验所提出的控制器的有效性与优越性。所采用的模型几何与气动参数具体参见文献[6]。飞行器的初始高度为22860 m；初始速度为1828.8 m/s；仿真中的高度指令信号的产生方式为将阶跃指令

(45)

通过下述滤波器G(s)

(46)

状态反馈参数选取为：kh=1，khi=0.01，k1=1，k2=1，k3=20；自适应参数选取为：b1=20，σ1=0.01π/180，l1=1，b2=0.01，σ2=0.1π/180，l2=5，b3=100，σ3=π/180，l3=1；攻角边界相关参数为：Au=3π/180，Al=2π/180，kb=e-0.07t，ka=0.5e-0.07t，p=0.95，β2=0.01；微分器参数选取为：r21=3，r22=3，r21=2，r21=10。

针对本文所提出的控制方案(以下记为TABLF)，本文还采用了自适应反步法(以下记为ABS)，以及文献[13]中使用的非对称非时变的障碍函数方法(以下记为SBLF)进行对比，用以说明本文方法的优势。具体仿真结果见图1～图7。

图1～图2展示了指令跟踪性能。由图1可知，各控制器都能够较好地跟踪高度指令。从图2可以看出，针对仿真中复杂、快时变的外部扰动，本文控制律的高度精度更高。这说明本文的自适应律对大幅值、快时变的干扰具有良好的估计与补偿作用。

图1 高度跟踪曲线

图2 高度跟踪误差曲线

图3 攻角响应曲线

图4 辅助状态响应曲线

图5 升降舵偏角

图6 干扰上界的估计值

由图3可知，本文提出的控制器可以保证攻角始终严格处于预设的时变非对称区间之内。这得益于对时变非对称的障碍函数与类饱和函数的综合使用。而SBLF方法无法应对非对称的约束，如图3左下角与右下角子图所示，采用SBLF方法的控制器越过了预设的攻角边界。该方法也无法应对时变约束，如图3左上角子图所示，随着攻角上界的缩小，SBLF的攻角曲线跨过了攻角上界。

由图4可知，当名义攻角指令饱和时，辅助系统开始工作，用以补偿饱和带来的不利影响。当攻角指令退出饱和后，辅助状态迅速回到0点。从图5可以看出，当攻角在50 s以及120 s附近逼近边界值时，本文控制器迅速产生大的反向舵偏，以避免攻角超出边界。

图6为干扰上界的估计曲线，可以看到干扰估计值快速变化以准确估计幅值不断变化的集中扰动。

综上所述，仿真结果校验了本文提出方法的有效性。具体而言，首先在大幅值、快时变干扰下仍然能够准确跟踪指令信号。其次，飞行过程中，攻角的非对称时变约束始终能够得到满足。

4 结 论

对于带攻角约束的高超声速飞行器，本文提出了一种新型的非线性自适应控制器。通过分别使用类饱和函数约束攻角指令，障碍函数约束攻角指令跟踪误差，实现了对飞行器攻角的时变非对称约束。并构造了辅助系统用以补偿攻角指令饱和带来的影响。飞行器受到的参数不确定性、扰动以及指令信号导数的估计误差被统一视作集中干扰，通过自适应律进行在线估计补偿。仿真结果表明，本文提出的控制器可以保证良好的跟踪性能，并且攻角始终满足约束条件。