一种基于压缩感知的导波场重构方法

周 杨，骆 英，徐晨光，李鹏飞

(江苏大学 国家级高端装备关键结构健康管理国际联合研究中心，江苏 镇江 212013)

0 引言

传统导波检测法常使用分布式传感器阵列拾取损伤散射信号以定位损伤，此类方法可实现对结构损伤的快速定位，但受传感器空间分布尺度的限制，难以获取高空间分辨率波场[1-2]，故而难以从采样信号中获取更多损伤信息。使用非接触式扫描激光多普勒测振仪(SLDV)能够获得结构被测区域内高空间分辨率波场信号，并利用波场分析技术对损伤进行精确评估[3]。此处的“波场”指导波在被测结构中传播及与结构特征相互作用的一系列随时间或频率演化的图像，本文主要指时域演化图像。受限于奈奎斯特(Nyquist)采样定律，采集波场信号时，因空间采样间隔须小于最小半波长，则导致测点数量庞大，测量完整波场的过程耗时过长[3]。近年来有学者利用压缩感知(CS)技术[4-5]，通过抖动采样策略在采样率远低于Nyquist采样率的条件下采集稀疏分布的测点信号，然后利用非线性重构算法恢复波场[6-7]。这些方法可对原始波场进行高精度重构，但均依赖抖动采样策略，而抖动采样具有随机性，需在现有的商用SLDV系统上增加额外的控制组件，进而增加系统复杂度和成本。

针对上述问题，本文使用一种新的采样策略，用均匀稀疏采样网格替代随机的空间测点坐标，以便SLDV实现稀疏采样，并搭建PZT激励/SLDV传感实验平台，采集含损铝板数据对该采样方案进行验证。本文所构建的基于SLDV均匀稀疏采样的波场重构方案，既突破经典Nyquist采样率的限制，又可方便SLDV测量系统执行空间稀疏采样，研究结果可提高波场获取效率。

1 基本理论

1.1 压缩感知

Nyquist采样定律指出，为不失真地恢复模拟信号，采样频率须不低于模拟信号最高频率的2倍，但该定律仅利用信号带宽有限的假设，并未利用到其他与信号内在结构上相关的先验知识。为突破Nyquist采样定律的限制，Candès[4]、Donoho等[5]在21世纪初提出了CS理论。该理论针对稀疏信号或可压缩信号通过随机投影法进行了信号的压缩采集，然后将测得的少量信号输入到非线性求解器中恢复出原始信号。此处的稀疏信号指所包含的元素绝大部分等于0，仅含有少量非零元素的信号，而可压缩信号指本身并不稀疏，但在某组已知基下存在稀疏表示的信号。CS理论研究的问题在数学上可描述为：设长度为N的一维稀疏信号x∈N×1(为实数集)的稀疏度为K，即x中仅含K个非零值，且K

1.2 导波场中CS方程的构建

若将待测结构的测量区域等间距地划分为数个像素点，则在这些像素点中，位于结构特征(包括激励源、预留孔及损伤等)附近的像素点个数是有限的。将这些像素点视作“假定源”，显然真实源的存在具有相当高的稀疏性，图1为二维测量区域像素化示意图。 依据源的稀疏性可以构造CS方程。

图1 二维测量区域像素化示意图

(1)

y(μ)(f)=A(μ)(f)v(μ)(f)

(2)

(3)

在多模态情况下仍可用相同的方式构造CS方程。本文采用较低的激励频率，使激励源仅产生A0与S0模态导波，此时式(2)扩展为

A(f)v(f)

(4)

式中A(f)为传感矩阵。式(4)为最终的导波场CS方程。

求解CS方程的方法较多，由于基追踪降噪算法在测量噪声存在时具有较高的鲁棒性，因此，本文择其作为求解方法，具体使用属于基追踪降噪算法的谱投影梯度l1正则化算法包[8]。求解时需要将CS方程转化为下述问题：

(5)

式中σ为测量噪声水平。当σ=0时表示无噪声理想环境，σ越大表示噪声强度越高。

基追踪降噪算法在求解时需要传感矩阵满足一定的正交性，因此，采样策略须兼顾随机性与均匀性[7]。此处采样策略包括了测点分布和假定源分布。现有研究利用抖动采样法生成空间测点[6-7]，假定源则为均匀分布，如图2(a)所示。然而抖动采样具有随机性，现有商用SLDV系统内置的测量方式为均匀网格，并不支持随机测点设置。本文将抖动采样点替换为等间隔均匀采样点以保证SLDV的稀疏采样更易实现，采样设置如图2(b)所示。均匀稀疏采样形成的传感矩阵的冗余度高于抖动稀疏采样，这是它们的本质区别。本文通过大量实验数据计算证实，在传感矩阵冗余度较高的情况下使用SPGL1算法求解导波场CS方程，能以非常高的概率求得满足条件的稀疏解，因此，均匀稀疏采样策略亦可精确重构出原始波场。

图2 假定源与测点布置示意图

利用假定源激励函数的幅值信息可成像假定源区域的所有声源，损伤作为二次声源亦可被识别。由于SLDV测量系统直接测量的是结构表面的离面速度，因此，S0模态导波非常弱，A0模态在测量信号中占主导地位，利用v(f)中A0模态部分进行损伤成像，成像指标index(x,y)定义为

(6)

式中f1，f2为计算频段的起止频率。

利用假定源的激励函数v(f)不仅可以成像损伤，还能对任意区域的波场进行重构。选定波场重构区域，构造假定源到该区域重构点之间的传递矩阵A′，可得该区域的频谱波场：

W(f)=A′(f)v(f)

(7)

对W(f)进行逆傅里叶变换即得到任意时刻波场W(t)。

2 实验验证

2.1 实验设置

构建PZT激励/SLDV传感实验平台,如图3所示。待测试件为厚1 mm的T6061型铝板，如图4所示。在铝板表面粘贴直径为7 mm的压电片作激励源，在激励源上方设置长10 mm的凹槽模拟损伤。测量区域宽、高均为81.5 mm，M=221，在每个测点上采集10次数据后取均值以提高信噪比。假定源区域宽81.5 mm，高180 mm，假定源点数N=2 695，等于取该区域Nyquist点数，采样压缩率为(1-M/N)×100%=91.8%，即实际采样点数减少至Nyquist点数的8.2%。激励信号为中心频率250 kHz的五峰波，信号能量主要集中在100～400 kHz，故选择该区间作为计算频段。

图3 PZT激励/SLDV传感实验平台示意图

图4 待测铝板试件示意图

2.2 实验结果

2.2.1 损伤成像

图5为基于均匀稀疏采样与基于抖动稀疏采样策略计算得到的损伤成像。表1为损伤中心位置估计结果。由表可知，两者的定位误差均能控制在最小半波长以内，前者的定位误差略低于后者。以损伤成像的最大长度来估计损伤最大尺寸，得到如表2所示的结果。由表2可知，两种采样方案在损伤尺寸估计精度上处于同等水平，估计值均略小于最小半波长。上述结果表明，均匀稀疏采样策略具有较高的损伤成像和定位精度。

图5 损伤成像结果

表1 损伤定位估计

真实位置/mm估计位置/mm绝对误差/mm均匀稀疏采样随机稀疏采样(40,45)(40.0,44.1)1.1(40.0,44.2)1.2

表2 损伤最大尺寸估计

2.2.2 波场重构

(8)

图6 重构波场与原始波场

图曲线

3 结束语

本文提出了一种基于均匀稀疏采样策略的导波场稀疏重构与损伤成像方法，并搭建PZT激励/SLDV传感平台在含损伤铝板试件上进行了实验验证。结果表明，本文所提出的方法在损伤成像、定位和波场重构方面均能达到与既有的基于抖动采样策略方法同等的精度，可将获取全导波场的空间测点数降到传统Nyquist采样点数的10%以下，且均匀稀疏采样能使SLDV在采集数据时更便捷，进而可极大地提高导波场分析法的实用性和工作效率。