一种估算球状风化体直径平均值的方法

2020-03-10李凯

广东土木与建筑 2020年2期

李凯

（深圳市市政设计研究院有限公司深圳518029）

0 引言

球状风化体（以下简称孤石）是基岩风化地层中一种特殊的地质体，其强度高于周边地层，一般以中～微风化岩为主，存在于残积土、全风化和强风化地层中，大多发育于火山岩和变质岩的风化地层中，如片麻岩、安山岩、流纹岩和花岗岩等［1，2］，其中以花岗岩地区的孤石最为典型。由于其强度与周边地层差异大，位置分布的规律性不强，粒径大小不一，给工程建设带来较多不确定因素，尤其对隧道、桩基、地下厂房等地下工程产生较大影响。

由于孤石分布规律性不强，且深埋地下，在工程前期的勘察阶段，大多只利用钻探的手段，直接揭露各孤石单体的位置和揭露厚度［3］，通过统计总结其规律性［4-6］，但揭露厚度并非孤石单体的直径，其表征孤石大小的代表性不强，为此，本文利用概率和统计学方法研究孤石模型，提出一种通过孤石钻探的揭露厚度估算特定区域内各孤石直径平均值的方法。

1 球状风化体成因和形态特征

球状风化体的形成是岩体内因岩性与外因风化共同作用的结果［7-8］。在岩浆岩冷凝成岩过程中，岩体内会形成三组互相正交的原生节理，这些节理把岩体分割成许多长方形或近似正方形的岩块。由于化学风化，特别集中在三组节理相交会的棱角部位，当经过一段时间之后，棱角就逐步圆化，方形岩块逐渐变为球形岩块。随后，经过层层风化剥离，球状岩块变小、变少，同时被大量风化碎屑包围。

通过对地表出露和开挖出来的孤石进行调查，大多呈椭圆形、次圆形［9，10］。

2 数学模型和估算方法

取单个被钻孔揭露的孤石，如图1所示，假定孤石为球体，钻孔钻穿孤石的厚度为揭露厚度2a，孤石的半径为r，b为钻孔中心与孤石球心在水平面投影的距离。根据其位置关系得：

图1 孤石三维模型及二维模型Fig.1 Three Dimensional Model and TwoDimensional Modelof Boulder

假设孤石直径和钻孔位置均为随机事件，设置4个前提假设条件：①孤石外形呈球体；②样本空间内各孤石的半径r，在区间（0，dmax）上服从均匀分布（dmax为所有孤石半径的最大值，直径为Dmax=2dmax）；③钻孔中心与孤石球心的水平距离b，在区间（0，r）上服从均匀分布；④孤石半径和钻孔位置无关联，相互独立。

设X、Y 为互相独立的随机变量，在区间（0，1）上都服从均匀分布［11］，以dmaxX 代表孤石半径r（r=dmaxX），以rY代表钻孔中心与孤石球心在水平面投影的距离b（b=dmaxXY），从而构建随机变量Z 代表钻孔钻穿孤石揭露厚度值的一半a：

由X、Y互相独立，得f（X，Y）的联合概率密度函数为：

求解随机变量Z的期望E（Z）：

可知，孤石揭露厚度一半a的期望值E（Z）与所有孤石半径最大值dmax之间存在一一对应关系。因为X在区间（0，1）上为均匀分布，故单个孤石半径的期望值E（r）=dmaxE（X）=0.5dmax，即单个孤石直径的期望值为E（2r）=DmaxE（X）=dmax，从而可通过对揭露厚度2a 进行统计，估算特定区域内所有孤石直径的平均Dave，简化为如下关系式：

3 数值模拟

EXCEL 软件中的函数RAND（）命令，返回一个介于0～1 之间服从均匀分布的随机数，利用该命令模拟随机变量X 和Y，依次输入不同的Dmax值，计算其对应的孤石揭露厚度2a，并求其平均值。每个Dmax值模拟2万次，模拟数据如表1所示。

以孤石揭露厚度平均值2a为X轴，以孤石直径平均值Dave为Y 轴，绘制各数据点并回归拟合，结果如图2所示，数值模拟与理论推导结果吻合。

4 模型局限性分析

本数学模型为便于分析，对部分前提条件进行了简化，主要有以下2 点：①将孤石简化为球体；②孤石直径在0～Dmax上为均匀分布。这2 点与现实情况存在差异，主要表现在：①孤石形态各异，大体呈块状、椭球状、似球状；②孤石直径在0～Dmax上并非绝对的均匀分布，而是在小于某直径时占比较大，离散性好，接近均匀分布；直径较大的孤石数量占比较小，但直径上限值较大。