桥架起重机防晃控制非线性系统建模与研究

(江苏大学 电气信息工程学院，江苏 镇江 212000)

0 引言

近年来，随着世界贸易的飞速发展与集装箱货物运输方式的逐步优化，在众多的物流作业中，桥架起重机发挥着越来越重要的作用。与此同时，桥架起重机防晃技术也越来越受到人们的重视，它直接决定了集装箱的装卸速度[1]。桥架起重机在吊运过程中货物不可避免地要出现“摆动”现象，这种现象可能会带来损坏货物、伤害地面工作人员等危害。针对桥架起重机系统的这一特征，其建模和控制问题受到了学者们的广泛关注。

纵观国内外，并没有对完整的桥架起重机防晃控制系统(包含电机)进行建模和研究的文献。文献[2-4]建立了2D 桥架起重机的数学模型，利用李亚普诺夫稳定理论和模糊逻辑来达到桥架起重机在减小摆动角度和位置精度方面的要求。文献[5-7]建立了2D 桥架起重机的数学模型，研究了不同的非线性防晃定位控制方法。文献[8]研究并建立了桥架起重机的线性化数学模型，并提出了相应的控制器。文献[9-10]采用拉格朗日方程方法建立了桥架起重机的非线性模型，文献[10]还考虑了摩擦力和空气阻力对桥架起重机的影响。文献[11]提出了基于多模型参考切换双闭环防摇控制方法，建立了桥架起重机防摇系统的数学模型。文献[12]采用拉格朗日方程方法建立了双起升双吊具桥架起重机的2D 动力学模型，并对该双起升双吊具桥架起重机的动态数学模型进行了简化。

但是上述工作建立的模型仅仅是针对吊车或者吊车与控制器，并没有涉及包含电机部分的完整的桥架起重机防晃控制系统模型，而电机是桥架起重机防晃控制系统的重要组成部分，电机的特性对桥架起重机的位置精度和吊具及负载的摆动摆角大小以及防晃控制有很大的影响。所以上述文献的成果在一定程度上给研究桥架起重机系统以及防晃控制算法带来了较大的不准确性。文献[13]搭建了一个包含电机的三维桥式吊车实验系统，这个系统能够一定程度上反映实际桥架起重机非线性系统的动态特性，但是涉及的理论建模研究较少。文献[14]构建了一个桥吊多电机实时仿真控制平台，提出了一种实时内核的混合仿真实验构架，但是基本没有涉及理论建模。文献[13-14]涉及理论研究较少，从而无法为桥架起重机防晃控制算法研究提供系统的理论参考。

本文经过理论推导建立了包含电机部分的完整的桥架起重机防晃控制非线性系统的物理模型和数学模型，该模型完整的描述了桥架起重机系统的运动特性。最后，本文分别对电机部分、吊具及负载部分、桥架起重机开环非线性系统以及用PID控制算法控制的桥架起重机闭环控制非线性系统进行Matlab仿真研究，得到的仿真波形与实际认知现象和文献理论现象相符，证明了模型的正确性和有效性。

1 桥架起重机防晃控制系统数学模型

1.1 桥架起重机系统整体模型

桥架起重机系统主要由电机、运行车(下文中简称小车)、吊具及负载组成。本文基于桥架起重机的二维运动，建立桥架起重机控制非线性系统的完整的物理和数学模型，并对其进行仿真研究。

桥架起重机系统整体模型如图1所示。

图1 桥架起重机系统整体模型

1.2 桥架起重机结构介绍

桥架起重机是集装箱船与码头前沿之间装卸集装箱的主要设备,它由前后两片门框和拉杆构成的门架和支承在门架上的桥架组成,起重机的运行车轮装在支腿的下端,大车在地面的轨道上运行,跨越装卸场地的上空,为装卸场地装卸货物[15]。

图2 桥架起重机结构

1.3 电机部分

直流电动机是将直流电能转换为机械能的电动机。因其良好的调速性能而在电力拖动系统中得到广泛应用。

直流电机的电动势平衡方程：

(1)

(2)

式中,Ua(t)为施加在电机上的电压；Ra为电枢回路内部总电阻；ia(t)为电动机电枢电流；eb(t)为感应电动势；La为电枢回路电感；kb为感应电动势常数；θm为电动机转轴转角。

直流电机的转矩平衡方程(忽略空载转矩)：

(3)

τ(t)=kaia(t)

(4)

式中,τ(t)为电机转轴输出力矩；Jeff为折合到电动机轴上的总的等效转动惯量；ka为电动机电流-力矩比例常数；feff为折合到电机轴上的总的等效摩擦系数。

对式(1)～(4)进行Laplace变换得到：

Ua(s)=RaIa(s)+Eb(s)+sLaIa(s)

(5)

Eb(s)=skbΘm(s)

(6)

T(s)=s2JeffΘm(s)+sfeffΘm(s)

(7)

T(s)=kaIa(s)

(8)

由式(5)～(8)化简可得：

(9)

电动机输出转矩和拉力的关系为：

τ(t)=nrF(t)

(10)

式中,n为电动机的减速比；r为电机输出轴的半径，F(t)为电机转动产生的拉力。

对式(10)进行Laplace变换得到：

T(s)=nrF(s)

(11)

1.4 吊具及负载部分

实际工程中的桥架起重机的吊具与负载部分结构较为复杂，为了分析和建模方便，本文中将吊具与负载等效看作一个长度为2L的匀质摆杆，质心在L处。忽略摆体转轴间的摩擦和摆杆在运动过程中的空气阻力，且假设摆杆初始时刻静止。

简化后可得摆杆的物理模型和受力如图3所示。

图3 吊具与负载等效成的摆杆的物理模型和受力

图3中，M为小车的质量，m为吊具与负载等效成的摆杆的质量。

以地面为参考，将摆体的运动分解为平动和绕质心转动两部分，质心加速度等于质心平动加速度和绕质心转动加速度之和。质心加速度的水平分量为：

(12)

式中,rx为杆质心的水平位移分量；rC为小车的位移；θ为摆杆转动的角度。

质心加速度的垂直分量为：

(13)

式中,ry为杆质心的竖直位移分量。

摆体运动学方程(平动部分)为：

(14)

(15)

式中,FC->Px为小车对吊具与负载等效成的摆杆的水平方向的作用力；FC->Py为小车对吊具与负载等效成的摆杆的竖直方向的作用力；g为重力加速度。

由式(13)和式(15)可得：

(16)

摆体运动学方程(转动部分)为：

(17)

式中,Jc为吊具与负载等效成的摆杆绕质心的转动惯量。

将式(14)和式(16)代入式(17)得：

(18)

匀质杆绕一端转动时，其转动惯量为：

J=Jc+mL2

(19)

由式(18)和式(19)可得：

(20)

1.5 小车部分

忽略小车运动时与轨道的摩擦，且假设空气阻力与车的速度成正比且摩擦系数为μ。可得小车部分简化的物理模型如图4所示。

图4 二维桥架起重机小车的物理模型

图4中，F为电机转动产生的对小车的拉力；f为小车运动时与空气的摩擦力；FP->Cx为吊具与负载等效成的摆杆对小车的水平作用力。

考虑到小车只有水平方向的运动，可写出小车的运动方程：

(21)

(22)

FP->Cx=FC->Px

(23)

将式(14)、(22)代入式(21)得：

(24)

1.6 PID控制器

当今的闭环自动控制技术都是基于反馈的概念来减少不确定性。反馈理论的要素包括：测量、比较和执行。具体实现方法是被控变量的实际值与期望值比较得到偏差值，用这个偏差值来纠正系统的响应，执行调节控制。在实际工程中，应用最广泛的调节器控制规律为比例、积分、微分控制，简称PID控制。

(25)

式中，u(t)是控制器输出信号；e(t)是给定输入信号与系统被控量的偏差，定义为e(t)=r(t)-c(t)；r(t)是给定的输入信号；c(t)是系统的被控量；KP、KI、KD为比例、积分、微分参数。

PID控制器的结构原理如图5所示。

图5 PID控制器结构原理图

随着控制理论的发展，PID算法也得到优化和改进，本文采用经典的增量式PID控制算法对系统进行控制。

2 基于Matlab的桥架起重机防晃控制系统模型

由式(8)、(9)、(11)可以得到电机部分的传递函数模型如图6所示。

图6 电机部分传递函数模型

小车与吊具及负载部分的数学模型由式(20)、(24)可以得到如下非线性差分方程组：

-J[θ(k)-2θ(k-1)+θ(k-2)]=

Lm[r(k)-2r(k-1)+r(k-2)]cosθ(k)-mgLsinθ(k)

(26)

(M+m)[r(k)-2r(k-1)+r(k-2)]+

μ[r(k)-r(k-1)]=F-mL[θ(k)-θ(k-1)]2sinθ(k)-

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mL[θ(k)-2θ(k-1)+θ(k-2)]cosθ(k)

(27)

控制算法采用经典的增量式PID控制算法对系统进行控制。该系统为双闭环控制非线性系统。

综上，采用增量式PID控制算法建立的非线性桥架起重机防晃控制系统模型如图7所示。

图7 桥架起重机防晃控制非线性系统模型框图

3 仿真结果和分析

将建立的桥架起重机防晃控制非线性系统模型用Matlab进行仿真。

3.1 电机部分Matlab仿真及结果

忽略电机的启动方式对模型的影响，直接给电机加300V电压，取feff=0.318，ka=1.33，Jeff=1.9，Ra=0.2，La=0.05，kb=1.4，n=1/30，r=0.1(以上数据单位均为国际单位制)可得到如图8所示的电动机电枢电流的仿真波形，由于刚启动时，转速n=0,电枢回路内部总电阻Ra很小，电机电枢电流在直接加电压的一瞬间突增至780 A左右，经短暂时间后，电流稳定在49 A左右，符合电机特性。

图8 电机电枢电流仿真波形

3.2 小车连摆部分的Matlab仿真及结果

由式(26)、(27)可在Matlab中建立小车连摆部分的非线性数学模型，直接给小车连摆部分加300 N的拉力，取L=16，M=500，m=10 000，μ=0.2，g=9.8，J=3.413*105(以上数值单位均为国际单位制)；观察摆角摆动的仿真波形和小车运动位置的仿真波形如图9、10所示。

由图9可以看出，吊具与负载等效成的摆杆的摆角摆动到一定角度后收敛于该角度(非平衡位置)，符合实际物理现象。

图9 摆角摆动的仿真波形

由图10可以看出，在恒力的作用下，小车位移一直呈非线性增大，符合实际物理现象。

图10 小车运动位置的仿真波形

3.3 桥架起重机系统开环Matlab仿真及结果

由电机部分和小车连摆部分的模型可建立起桥架起重机系统开环模型，给电机加300V电压，其余参数与上文一致，其Matlab仿真结果如图11、12所示。

图11为桥架起重机系统开环状态下角度的仿真波形，可以看出角度在电机启动的一瞬间迅速增至57°(约1rad)左右，振荡后角度逐渐减小，符合实际物理现象。

图11 桥架起重机系统开环仿真角度波形

图12为桥架起重机系统开环状态下小车运动位移的仿真波形，可以看出小车在启动一定时间后开始匀速运动，符合实际的物理现象。

图12 桥架起重机系统开环仿真位移波形

3.4 桥架起重机防晃控制系统Matlab仿真及结果

图13 桥架起重机防晃控制系统仿真波形

桥架起重机防晃控制非线性系统仿真模型框图如上文中图7所示，对其进行Matlab仿真。取PID position的P=4,I=0,D=80;PID angle的P=320,I=710.8,D=2000;expected position(位置期望)=10，expected angle(角度期望)=0(平衡位置)(以上数值单位均为国际单位制)；得到如图13所示的仿真波形：上方图形为吊具与负载等效成的摆杆摆角的摆动曲线，可见摆角在较小(小于5度)的范围内短暂振荡后收敛于平衡位置；下方图形为小车的位置曲线，可见小车位置逐渐趋于期望位置。符合预期要求。

4 结论

本文考虑了电机对桥架起重机非线性系统的影响，建立了完整的桥架起重机防晃控制非线性系统的物理模型和数学模型，并通过Matlab仿真验证了模型的正确性。该模型全面系统地描述了桥架起重机系统的特性，也具体描述了组成系统的主要部分的特性，具有一般性和实用性，为桥架起重机系统的进一步研究提供了重要的参考，也为非线性系统控制算法的研究奠定了基础。