错在哪里?

王彩霞

我是一名从事小学数学教育二十多年的一线教师，平常喜欢思考和探讨一些数学问题，也喜欢和孩子们分享自己的经验所得。所以，孩子们平常有了疑惑时，总喜欢来向我请教。有一次，几个孩子拿着这样的一道题来问我。

例2：甲、乙两个装有水的圆柱形容器，底面积之比是5∶4，甲容器水面高度为8厘米，乙容器水面高度为12厘米，再往两个容器中注入同样多的水，直到两个容器水面高度相等，这样甲容器的水面应上升多少厘米？

原题的分析与解答：

注入同样多的水，即注入水的体积相等，那么圆柱形容器的底面积和容器水面高度成反比例。

甲乙两个容器的底面积之比是5∶4，则甲乙两个容器水面上升的高度之比是4∶5。原来甲容器的水面高度为8厘米，乙容器的水面高度为12厘米，甲比乙少12-8=4（厘米），现在两个容器水面高度相等，可知乙容器水面上升的高度要比甲容器水面上升的高度多4厘米，所以甲容器的水面应上升4÷（5-4）×4=16（厘米）。

以上是由蒋顺、李济元主编，陕西人民教育出版社出版，2016年1月第1版的《小学奥数优化课本六年级》第91页的内容。

那么问题来了，甲容器底面积大、水位低，乙容器底面积小、水位高，甲乙两个容器注入同样多的水，水位高度怎么会相同呢？带着对原题的疑惑，我对原题进行了认真思考与研究。我发现教材例2给出的原解法是错误的。

为了验证，我对原题做了以下两种解法。

方法1：直接验证

由例2解法得到：甲容器水面上升16厘米，增加的水容积为16×5k=80k（容积单位）。

乙容器水面上升16+8-12=12（厘米），增加的水容积为12×4k=48k（容积单位）。

显然，80k≠48k！与题意“两个容器加入同样多的水”矛盾。由此可见教材例2的原解法是错误的。

方法2：用方程解

設甲容器水面上升x厘米后，甲乙两个容器的水面同样高，这时乙容器水面上升了8+x-12=x-4（厘米）。

由两个容器加入同样多的水知，5x=4（x-4），解得x=-16，与实际问题不符。由此可见教材例2的原解法并不正确。

那么例2原解法到底错在了哪里呢？

它错在了题目所给的条件有问题。

甲容器底面积大，乙容器底面积小，给甲乙两个容器注入同样多的水，使两个容器的水位高度相同，那么甲容器的水面高度必须高、乙容器的水面高度必须低。

把原题“甲容器水面高度为8厘米，乙容器水面高度为12厘米”修改为“甲容器水面高度为12厘米，乙容器水面高度为8厘米”，则此问题可解。

甲、乙两个装有水的圆柱形容器，底面积之比是5∶4，甲容器水面高度为12厘米，乙容器水面高度为8厘米，再往两个容器中注入同样多的水，直到两个容器水面高度相等，这样甲容器的水面应上升多少厘米？

解法1：设甲容器水面上升x厘米后，甲乙两个容器的水面同样高，这时乙容器水面上升了12+x-8=x+4（厘米）。因为两个容器加入同样多的水，所以5x=4（x+4），解得x=16。

检验：当甲容器水面高度上升16厘米时，实际上给甲容器注入了16×5k=80k（容积单位），这时甲容器的水面高度是12+16=28（厘米）。这时给乙容器水面也注入了80k容积单位，乙容器的水面高度上升了80k÷（4k）=20（厘米），乙容器的水面高度是8+20=28（厘米）。可见，当甲容器水面高度上升16厘米时，甲乙两个容器的水面高度都是28厘米，完全符合题意。

解法2： 甲乙两个容器的底面积之比是5∶4，则甲乙两个容器水面上升的高度之比是4∶5。原来甲容器的水面高度为12厘米，乙容器的水面高度为8厘米，乙比甲少12-8=4（厘米），现由两个容器水面高度相等，可知乙容器水面上升的高度要比甲容器水面上升的高度多4厘米，所以甲容器的水面应上升4÷（5-4）×4=16（厘米）。

通过对这道应用题的研究，我认识到解答应用题，对解法结果要检验。检验解答结果，如果符合题意，说明解答是正确的;如果不符合题意，说明解答过程有问题，需要反思，找出问题症结，直到问题解决。

作者单位 陕西省延安市延川县南关小学