非自治具有食饵感染的捕食食饵竞争系统周期解的存在性和稳定性

李 超，江璐琼

（武夷学院 数学与计算机学院， 福建 武夷山 354300）

二十世纪初，随着著名的Lotka-Voterra模型[1-2]的提出，就掀起了对各类捕食-食饵模型的研究浪潮。传染病模型是流行病学研究中重要的研究课题之一。20世纪20年代，Kermack与McKendrick[3]对流行病的独创性工作，紧随其后不少学者对流行病模型进行研究。近些年来，捕食-食饵模型和传染病模型的研究都得到了突飞猛进的发展。直到上个世纪末，将两个领域结合起来研究才开始出现。此后越来越多研究者致力于将两者结合进行研究，于是出现了生态流行病学这种新的模型。

1980年代，Anderson等[4]和Hadeler等[5]较早将种群生态学与流行病动力学相结合。从此，该领域的研究者们开始对不同的条件因素下的有疾病传播的捕食模型进行了深入的研究。在之后的十几年里，Venturino[6]，Chattopadhyay等[7]以及Xiao等[8]分别对疾病在食饵和捕食者之间传播的模型，并取得一些新的成果。在本世纪初，张江山等[9]和杨亚莉等[10]通过研究捕食系统中捕食者有疾病的生态流行病模型，找到了平衡点并给出平衡点渐近稳定的条件。近几年，也不乏在对具有疾病感染的捕食系统的研究。章培军等[11]应用微分方程分支理论，研究了食饵具有传染病和两时滞的捕食模型的稳定性和Hopf分支问题。王晓庆等[12]讨论疾病在食饵中传播的捕食食饵模型，推导出该模型正平衡点的局部渐近稳定性，并讨论了引入时滞后正平衡点的稳定性。刘烁等[13]对具有垂直传播的SI捕食传染病模型进行研究，给出了关于平衡点全局渐近稳定的充要条件。王丽莎等[14]针对食饵感染疾病的Lotka-Voterra捕食-被捕食模型的平衡点及稳定、中心流形上的周期解进行研究，并给出了传染病流行的阈值。将捕食系统与流行病相结合起来研究，一直受到众多学者的关注，其中相当一部分学者也取得丰硕的研究成果。他们的研究成果大部分偏向于系统的有界性、平衡点、渐近稳定和Hopf分支等方面，而对于系统持久性、周期解的存在性与稳定性等方面的研究较少。在文章[6-17]启发下，在2019年我们就讨论了一类非自治具有食饵感染的捕食食饵竞争系统的持久性，并证明了该系统具有持久性。本文将进一步研究这一类非自治具有食饵感染的捕食食饵竞争系统，深入研究其周期解的存在性和稳定性。

1 非自治具有食饵感染的捕食食饵竞争系统模型

1.1 模型简介

《非自治具有食饵感染的捕食食饵竞争系统的持久性研究》[18]中，根据Kant等[19]人的对食饵感染疾病的捕食-被捕食者模型：

加入染病食饵内部竞争，捕食者内部竞争等条件后，将系统(1)改进得到非自治捕食食饵模型如下：

其中：S（t）为易感染食饵在时间t时的总数；I（t）为染病食饵在时间t时的总数；Y（t）为捕食者在时间t时的总数。其他参数的具体含义见表1。

表1 参数的含义Tab.1 The meaning of parameters

其中：r（t），K（t），p1（t），p2（t），β（t），c（t），d1（t），d2（t），k1（t），k2（t），e1（t），e2（t）是关于时间t的连续且严格大于零的函数，均有上界和下界。并定义一下符号：

g（t）是在[0,+∞）上连续有界函数。在我们之前的文章中已经证明了，系统(2)具有持久性。接下来我们证明系统(2)周期解的存在性及稳定性，并通过实例验证其周期解的存在性及稳定性。

2 周期解的存在性及稳定性

2.1 周期解的存在性

2.2 周期解的稳定性

3 数值模拟

3.1 周期解数值模拟

将系统(2)中的所有参数取成周期函数，得到下面这个非自治具有食饵感染的捕食食饵竞争系统：

图1 初值为（S（0），I（0），Y（0））=（1，1，1）Fig.1 Initial value is（S（0），I（0），Y（0））=（1，1，1）

经过计算验证，以上全部参数满足定理2.3.1的（B4）和（B5）不等式。那么由定理2.3.1可知系统(2)至少存在一个正周期解。通过运用Matlab软件进行数值模拟，得到图1模拟结果，根据图像显示，可以看出系统存在至少一个正周期解，从而验证了定理2.3.1是正确的。

3.2 稳定性数值模拟

同样，对系统(2)，取r=10，K=40，β=0.3，p1=0.65，p2=0.1，c=0.1，d1=0.02，d2=0.15，e1=0.0012，e2=0.001，k1=0.012，k2=0.95。得到以下模型：

图2 初值为（S（1），I（1），Y（1））=（10，10，10）Fig.2 Initial value is（S（1），I（1），Y（1））=（10，10，10）

经过计算验证，系统中所有参数均是满足定理2.1.1的同时还满足定理2.2.1。由此可知系统(2)是存在至少一个周期解，并且这个解是全局渐近稳定的。图2为通过Matlab数值模拟的结果，从图中也可以看出系统存在全局渐近稳定的正周期解，从而验证了定理2.1.1和定理2.2.1的正确性。

4 小结

利用重合度理论、构造V函数等方法讨论了非自治具有染病食饵的捕食-食饵系统。运用重合度理论中的Mawhind定理，证明了非自治具有染病食饵的捕食-食饵系统存在正周期解。通过构造V函数说明该系统周期解是全局渐近稳定的。并通过举例数值模拟，对所得结论的作出进一步验证。