康托和柯西究竟谁对

四川省攀枝花市老年科技工作者协会 张喜安

为了论述方便，我们首先引述康托集合论的两个集合间一一对应的定义如下：

定义 如果存在函数y=f(x)为集合A →B 的双射函数，那么集合A 和B 为一一对应的关系。

前面已经指出，康托集合论的基本观点是，一个无穷集合可以和它的一个真子集一一对应，部分可以和全体相等，而这正是康托集合论的一个定理，本文称这个定理为康托集合论的基本定理。现在，我们把这个定理及其证明引述如下：

康托集合论基本定理 令a，b 为实数，且a＜b，则[a，b] 的基数等于[0，1]的基数，即等于c。

证明：令y=f(x)=a+(b-a)x，显然，y=f(x)为[0，1]→[a，b]的一个双射函数，这就证明了[a，b]的基数等于[0，1]的基数，即等于c。

为了使论述简单明了，我们取一种具体的情况，即令a=0，b=2，于是得到集合[0，2]。根据康托集合论的基本定理，存在y=2x为[0，1]→[0，2]的双射函数，因此，[0，1]和[0，2]为一一对应的关系。请注意，无穷集合[0，1]是[0，2]的真子集，并且[0，1]和[0，2]是两个实数点的集合，这些是已知条件。

现在假定[0，1]和[0，2]为一一对应的关系，这时，[0，1]和[0，2]互相对应的元素的性质就存在相同和不同两种情况。如果[0，1]和[0，2]互相对应的元素的性质相同，则根据集合论的外延公理：如果集合A 的每一个元素都是集合B 的元素，同时集合B 的每一个元素都是集合A 的元素，那么A=B。因此，[0，1]=[0，2]，这显然和客观事实矛盾。如果[0，1]和[0，2]互相对应的元素的性质不同，那么[0，1]不是[0，2]的子集，因此，[0，1]也就不是[0，2]的真子集，这和已知条件矛盾。于是得出结论，[0，1]和[0，2]不可能是一一对应的关系，而只能是非一一对应的关系。这说明，我们根据康托集合论的基本定理和它的已知条件就可以得出和康托集合论的基本定理相反的结果，因此可以说，康托集合论的基本定理是自相矛盾的，康托集合论也就是一个自相矛盾的理论，或者说，柯西是正确的，而康托则是错误的。

文章写到这里，疑问就来了，由于存在函数y=2x 为[0，1]→[0，2]的双射函数，则[0，1]和[0，2]就是一一对应的关系，这又如何解释？这个问题是一个困难的问题，我们首先给出一个一般的回答，一方面，由于存在函数y=2x 为[0，1]→[0，2]的双射函数，所以[0，1]和[0，2]为一一对应的关系，而另一方面，正是由函数y=2x 的存在，改变了已知条件。具体地讲，在已知的条件中，[0，1]和[0，2]是两个实数点的集合，由于函数y=2x 的存在，使这两个实数点的集合变成另外两个非实数点的集合，所以才产生了上面的疑问，如果我们考虑到这种情况，上面的证明就是完全正确的。下面我们就来回答为什么由于函数y=2x 的存在，使两个实数点的集合[0，1]和[0，2]变成另外两个非实数点的集合。

另外，由于存在函数y=x 不是[0，1]→[0，2]的双射函数，所以在y=x 存在的条件下，[0，1]和[0，2]为非一一对应的关系。但是根据康托集合论的基本定理，由于存在函数y=2x 为[0，1]→[0，2]的双射函数，所以[0，1]和[0，2]为一一对应的关系。这时我们就要质问康托：[0，1]和[0，2]是一一对应的关系，还是非一一对应的关系？由此我们也可以看出，康托的两个集合间的一一对应的定义不能确定两个实数点的集合是一一对应的关系还是非一一对应的关系。再有，康托的两个集合间一一对应的定义是一个全称量词命题，由于同时存在相反的命题（即在y=x 的条件下，[0，1]和[0，2]为非一一对应的关系），所以康托的两个集合间一一对应的定义这个全称量词命题就是一个错误的命题。另外，康托集合论的两个集合间一一对应的定义是判别[0，1]和[0，2]是否为一一对应的关系，它不能改变[0，1]和[0，2]的性质，前面已经指出，恰恰相反，由于函数y=2x 的存在，使[0，1]和[0，2]从两个实数点的集合改变为两个非实数点的集合，因此，康托集合论的两个集合间一一对应的定义就是一个错误的定义。由于康托集合论的基本定理是根据康托集合论的两个集合间一一对应的定义证明的，由于这个定义是错误的，所以康托集合论的基本定理的证明就不能成立，所以康托集合论就是一个自相矛盾的错误理论。