论张敦仁《求一算术》的当代社会价值*

杨玲霞,杨小明

(东华大学 人文学院,上海 200052)

清代数学家张敦仁的《求一算术》作为一本在前人理论基础之上的研究性数学著作,从术文的解读、计算方法的深度推敲以及在实际生活中的广泛应用等多个方面的诠释,让“大衍求一术”这朵奇葩在中国传统数学领域再次绽放光彩.一方面,《求一算术》融入了很多先进的研究理念和诠释方法,对后人整理与研究数学古籍可以提供有价值的实施方法;另一方面,《求一算术》所囊括的许多传统数学的算法、数理和运用依然遍布于现代数学的角角落落,譬如辗转相除、一次同余式组、推算上元积年以及日月之行程等问题,这无疑将会成为中国传统数学和现代数学相互交融的历史津梁.

1 与现代科技的契合

说到中国的传统数学,其核心思想便是算法,亦即算法的改进和拓广是中国传统数学发展的核心内容.张敦仁《求一算术》的算法体系依然是以算筹为工具,通过筹算来表达各种数学关系和建立各种基本模型,如在中国传统数学中所呈现的连环求等算法、更相减损算法等.这些算法的共性便是均具有中国传统数学的构造性和机械化的特点.正是这些机械化算法体系的不断改进和提高,把中国传统数学与现代计算机体系有机地结合起来.通常认为古代算筹相当于现代电子计算机的一种“硬件”,而把算法当作一种“软件”,这样就可以将其比作计算机的程序设计.[1]

《求一算术》无论从化问数为定数、求乘率,还是一次同余式组等一系列内容无不呈现出程序化的特征,也就是说,它们各自都是一种纯机械化的算法.张敦仁将这些内容所依据的原理和设计的理念构思巧妙地体现在其算法程序中,即中国传统数学的定理和演算程序都是以“术”的形式出现,按照术的步骤解题,并且所有的数学都有计算程序.熟悉计算机的人不难看出,这些算法稍加修饰便可以转化为我们所熟知的C语言,甚至编成相应的程序应用到计算机信息行业,这无疑对秦九韶“大衍求一术”广泛示人和进一步深入研究是一个很好的契机.

2 传统与现代的相互交融

同余式可以说是初等数论中非常重要的一部分内容.在初等数论中,针对一次同余(组)的解法依然是一个比较热门的话题以及考究的热点,尽管有关一次同余式的解法层出不穷,比如代入法、变换系数法、变换模数法,即孙子定理、系数不一定是一的情形、模数非两两互素的情形等,但是仔细观察与深究,基本上与张敦仁《求一算术》有关一次同余式的解法雷同或相似,有些甚至是在此基础上所做的改进和突破,唯一不同就在于求解一次同余式组之前需要根据解与系数之间的关系进一步判断解的情况.

另外,张敦仁《求一算术》求“乘率”比秦九韶求“乘率”更具条理性与规则性.整个“布筹”看起来类似于现代数学的“列表格”,这个“表格”共两“列”,从上到下同行依次左右相乘加上上一行右列数所得结果作为下一行右列数,反复叠加,一直到最后一行所得结果即为“乘率”,其过程更像现代数学中按照一定的运算法则所进行的表格运算.基于这一点,可以认为现代数学中的表格运算在张敦仁《求一算术》已初现雏形.

同时,中国传统数学缺乏系统且严格的推理和求真过程(不过,术文和细草用现代的数学方法去推理证明大部分也都是正确的),所以其求解过程一般都比较简略和草率.但张敦仁《求一算术》在中卷和下卷应用题的求解过程相较之前有明显的改观,语句虽然仍是文言文,但是“白话”了很多,让人读起来没有那么拗口,这样理解起来也会更加轻松.因为解题过程相较之前更加详细与完整,并且其中增添了许多必要的解释与说明,所以张敦仁《求一算术》无论从求解过程还是文字梳理都在逐步地靠近近现代数学.故其在中国数学史上起到了承上启下的功能.

3 研究与整理数学古籍的引领者

中国数学源远流长,大致可以分为两个阶段:第一个阶段为中国传统数学;第二阶段为近现代数学(与世界数学接轨).曾经在中国的传统数学史上诞生了很多的数学著作,其中不断记录着中国传统数学的发展轨迹.但是部分由于保存不善、善本本身流传比较稀少等问题,导致很多的数学古籍中间失传甚至绝迹,其数学价值被淹没.另外,在中国数学史上传统数学形成了以筹算为主体的一个断崖式的发展过程,即在宋朝和元朝的前半期,接连涌现出如贾宪、沈括、秦九韶、李冶、杨辉、郭守敬、朱世杰等当时世界上第一流的数学家,他们的数学成就在当时世界上是处于遥遥领先的地位.但是明末清初随着传教士传入西方数学,严重地影响了传统数学的发展速度,尤其之后因为某些原因使得中国古代数学再次遭受重创,这样导致传统数学发展被迫中断,之后就是近现代数学.在整个发展过程中每种数学类型都是独立的个体,因此后人要想深入了解传统数学只能依赖于古籍、文献、善本,一旦中间失传、遗失,对于研究者和复原者将会是毁灭性的打击,故对中国古代数学文献研究、整理与保护迫在眉睫.张敦仁《求一算术》作为一本研究与整理性数学著作在很多方面可以提供科学性的建议和指导.

3.1 有针对性、选择性地搜集与保护数学文献

明万历年间,王应麟自文渊阁中抄出,赵琦美再转录,书名为《数书九章》.张敦仁于李潢家得赵琦美抄本,与李锐日夕讨论,最终简化、改进了晦涩难懂的“大衍求一术”,著成《求一算术》三卷,为后人研习“大衍求一术”提供了依据.

众所周知,数学文化的传承需要以古籍文献及史料为依托.由于数学文献自身利用周期较长,使得数学学者的研究活动对原始文献的依赖性增强,因此保护、研究数学古籍以及保存数学善本尤为重要.同时,在进行文献搜集整理的过程中需要知道善本所处的年代及重要性、前人对此研究的进展如何、研究价值如何等一系列问题.由于有的善本流传的数量比较多,时间比较久远,因此在搜集的过程中需要仔细甄别;有的本身流传的数量就比较少,并且又由于某些原因中间中断遗失或者残缺不全,此时还需要溯本求源、搜集信息进行有效的复原.所以,在搜集、寻求数学文献及善本的过程中更要注重保护.首先,要对残缺遗失文献给予针对性和科学性的复原工作.其次,对于完整的重要数学文献要进行归档甚至数字化处理.最后,对于散落“民间”的数学文献要注重对其进行梳理归整甚至编纂,最终还要进行必要的数字化处理.

3.2 团队合作和自我突破相结合

张敦仁的《求一算术》严格来说是在李锐等众人的协助下共同完成的,其中加进去了一些自己的理解和进一步的阐释.这本书的成功之处就在于在“大衍求一术”理论基础上增添了一些自己的创新点.中国传统数学曾经也取得了一些辉煌的成就,比如“天元术”“大衍求一术”“正负开方术”“四元术”等,由于受当时条件、环境等客观条件的限制,相当一部分“数术”和“细草”缺乏严格的推理和证明.虽然大部分内容后来经过验证之后都是正确的,但是还是会有一些瑕疵和不完美的地方.后人在研究和整理的过程中需要牢牢把握“取其精华,弃其糟粕”的核心内容,张敦仁《求一算术》在研究数学古籍方面就提供了可参考的方法和建议.

由于数学古籍和善本利用周期比较长,跨越年代比较久远,所以在研究与整理古籍的时候更需要一个“专业团队”.如李锐等人当时是张敦仁的“幕僚”,甚至是“志同道合的战友”,这样可以聚力有甄别性、选择性地进行文献的搜集和梳理;找准突破口有针对性地进行研究和筛选;集中精力不断输入新的有效信息进行全面分析和总结;得出有效结论;逐个排查寻求新的研究对象;结合与之相关的文献善本找出与其迥异的有价值的东西.当然,除了需要一个“专业团队”作为辅助以外,还需要在研究和整理的过程中不断突破自我,对之前的研究成果要有进一步质疑甚至推翻的态度;更重要的是在了解传统数学运理和数理的情况下,要不断地扩大自己的认知视角以及科学地切换自己的聚焦点,以便对文献善本做全面地了解和熟知,进而找到新的创新点.

3.3 在实际应用中不断改进算法

中国传统数学具有浓郁的应用色彩,因此中国古代相当多的数学著作都与社会生活和实际生产密切相关,其重心是以解决实际问题为目标.数学研究主要围绕建立算法与提高计算技术而展开.《求一算术》中卷4道应用题和下卷5道应用题的整个解题过程就充分印证了这一点.张敦仁一方面把已研究、整理的理论深入到实际生活中,另一方面在解题的过程中也在不断地摸索、完善和改进解题的方法和技巧,比如求上元积年、一次同余式等等.从这个角度来分析,中国传统数学不光重视应用,而且更注重应用中的“新算法”.只有如此,才能不断地完善和弥补筹算中的缺憾,进而让其更好地服务于生活,应用于生活.

4 结语

传统数学在现代社会中有许多出人意料的应用,在许多场合,它已经不再单纯是一种辅助性的工具或“佐料”,而是成为解决许多重大问题的关键性的思想和方法.由此产生了许多有价值的成果,同时极大地改变了我们的生活方式,因此可以说,社会公众现已生活在“传统数学与现代数学相互交融”的新文化时代.张敦仁是清代第一个挖掘整理南宋数学家秦九韶《数学九章》中所记载的“大衍求一术”的研究者,其与现代的一次同余式理论相似,与历算家计算历法所用的“上元积年”方法等都有着密切关系,甚至在现代社会中俱得以广泛的应用,无论是其算法还是思想在科技领域和社会发展方面都起着至关重要的作用.有言道:中国的第一颗原子弹是算出来的,日月轨道、卫星的上天、神舟遨游太空,同样也是精心模拟计算出来的,而这些都有着中国传统科技历史包括张敦仁《求一算术》的元素.可以说:“卫星上天,神舟遨游太空等等当今最前沿的科技,也有清朝张敦仁之功劳,丝毫不为过分.”[2]