整体思维在小学数学中的应用

马婕

【摘 要】整体思维是数学思维的重要形式。本文就整体思维在小学数学中的一系列表现，如：整体代入、整体联想、整体替换等。突出在小学数学学习中整体思维的重要性，并对其进行了简单的探讨。

【关键词】整体思维;整体联想;整体构造

在整个小学数学的学习中，学生会进行很多的思维活动，如：数形结合、发散思维、推理能力等，培养用数学的眼光解决问题，而整体思维就是其中不可或缺的一种。通过对整体思维的学习，孩子不仅可以发现数学解题方法的多样，也可以发现数学的简洁美;在平常生活中，整体思维好的孩子，也能从整体、从大局着手处理问题，不是只看问题的局部或个体。因此，研究整体思维在小学数学中的应用，显得极其重要。

一、整体思维的定义

整体思维在辩证法中，又叫做系统思维，它认为事物是由各个局部按照一定的秩序组织起来的整体，在解决问题时人们应该持有整体或者全面的观点，不能以偏概全。

在数学中，整体思维又被称为整体思想，就是要求我们在解决数学问题时，应该从问题的整体性质出发，善于用整体、全面的眼光，把握各方面的关联，将问题作为一个整体去思考，尤其突出对问题整体结构的分析，从而抓住问题的内在联系，进行有目的、有意识的探索，从而找到解决问题的途径。

整体思维在数学教学中一直存在，从我们小学学习的化简与求值，到初中学习的解方程组，再到高中学习的等差等比数列，从代数到几何……可以说，在数学学习中，整体思维是学生应该具备的一种最基本的思维。

二、整体思维的主要表现形式

整体思维在小学的主要表现形式有：整体代入、整体替换、整体配对、整体联想等。

（一）整体代入，简化计算

整体代入法：在解决问题时，将题目中的已知条件或者一些式子重新组合看做一个“整体”，并把这个“整体”直接代入其他式子，从而方便解题，简化计算，避免运算的繁琐和困难。

【例1】□+△=9，□+△+△+△=17，那么□=（  ），△=（    ）。

分析：仔细观察这两个式子，若要从已知条件直接求出□和△的值，虽然可以，从1+8=9、2+7=9、3+6=9、4+5=9，把这些数一一对应，直到算出结果，可以算出但会有点烦，而细心的同学可以发现，如果把□+△=9看作一个整体，再整体代入后一个式子，得到9+△+△=17，得出两个三角形的和是8，一个三角形就是4，再次带回第一个式子，可以得出正方形是5，从而得出答案。

（二）整体替换，转换思维

整体替换法：在解决数学问题时，我们可以将题目中某个式子或者部分，用其他形式来表示，替换掉原来的式子或部分，转换思维，更方便解决问题。

【例2】学校买来5个足球和10个篮球，共计550元。每个足球比篮球便宜10元，每个足球多少元？篮球呢？

分析：这是一道很简单但也很典型的整体替换。由已知条件，我们可以把篮球全部替换成足球，或者把足球全部替换成篮球。假设买的全部是篮球，一共买了15个篮球，5个足球替换成5个篮球，需要补50元，那么15个篮球一共550+50=600（元），那么每个篮球价格：600÷15=40（元），每个足球价格：40-10=30（元）。足球与篮球的互相替换，成功解决了问题，将难题简单化。

【例3】一个笼子可以容纳18只同样大小的鹅和9只同样大小的鸭，或者容纳14只同样大小的鹅和15只同样大小的鸭。如果这个笼子专门用来装鹅，最多可以装几只鹅？

分析：此题如果直接去求解，因为没有给出鹅和鸭的关系，会不知道怎么去求解。但如果我们能把两个条件中鹅和鸭的关系看成一个整体，即：18只鹅的体重+9只鸭的体重=14只鹅的体重+15只鸭的体重，两边减去同样的14只鹅的体重和9只鸭的体重，那就可以求出4只鵝的体重=6只鸭的体重，两边同时减半，2只鹅的体重=3只鸭的体重，这时候问题就明了了，将鸭转换为鹅，9里面有3个3，而3只鸭等于2只鹅，所以9只鸭的体重等于6只鹅的体重，整体替换回到第一个条件，18+6=24（只），所以最多可以装24只鹅。整体替换，将鸭与鹅互相转换，使题目简单明了。

（三）整体配对，寻找规律

整体配对法：在解决一些排列有规律的式子时，我们可以首尾配对，或者交叉配对等，构成一个新的整体，寻找并发现规律，简便题目的运算，从而求出结果。

【例4】1+2+3+4+……+100

分析：这是著名的数学家高斯，7岁时解决的题目。刚看题目，不知道如何下手，但仔细观察，可以发现题目的首尾是很有规律，且首尾项的和均为101，1+100=101，2+99=101……50+51=101。进而我们可以尝试整体配对的方法，通过找出首尾项的规律，从而首尾配对求和，从1加到100有50组这样的数，所以50×101=5050。

【例5】1+2-3+4+5-6+……+58+59-60+61+62

分析：看到这个题目时，我们首先从整体着眼，可以发现所求式子很有规律，两个“+”，一个“-”，那我们可以3个数配对，也就是

1+2-3+4+5-6+……+58+59-60+61+62

=（1+2-3）+（4+5-6）+（7+8-9）+……+（58+59-60）+61+62

=0+3+6+……+57+61+62

=（0+57）×20÷2+61+62

=570+61+62

=693

（四）整体联想，猜测论证

整体联想法，在解题时寻求不同知识体系的内在联系，从分析问题的整体结构出发，大胆的猜想，进而论证猜测，从而使问题的解决变得有据可循。

【例6】3×3的方格中，分别写有0-8的数字，竖着读时看做是由这三个数字组成的整数，横着读时，也看做是由这三个数字组成的整数，如下图：竖着读时，3个数分别是：36、147、258

横着读时，3个数分别是：12、345、678

现在，请在左边的方格中写入0-8这9个数字，其中0、2、6已经填入方格中，使竖着读和横着读时的三个数的和相等。

分析：依据常规，学生拿到题目肯定会觉得不知道怎么做，需要学生先理解、再思考，一个个试肯定不可以，这时候学生应该学会观察思考，整体联想，去猜测。为了方便，先在右图中用字母表示空格。

这时候横着读为：AB0、C2D、6EF;竖着读为：AC6、B2E、DF。其中A和F分別在百位和个位，不影响和的大小，可以不分析。整体联想AB0+C2D+6EF=AC6+B2E+DF，只看百位A+C+6=A+B，合理猜测（1）C+6=B（2）C+6比B多1（3）C+6比B小1，有了合理的猜想，接下来一一验证就可以。

第一种情况只有C=1，B=7，此时表格如右图，看十位7+2+E得数肯定大于10，相应的1+2+D也要大于10，D只能为8，而E=2与已知矛盾。

第二种情况C+6比B多1，则C=3，B=8，如左图。此时十位上8+2+E=3+2+D，由于8+2=10，与假设的不进位矛盾，所以不成立。

第三种情况C+6比B小1。C=1，B=8。此时观察十位，只能D=3，E=7。

这时只有4、5，任意带入发现都可以。480+123+675=416

+827+35=1278

580+123+674=516+827+34=1377

在小学数学的教学中，我们必须注重对学生整体思维的培养，这样不仅可以帮助学生解决数学题目，更能够培养学生在生活中，树立整体的思维，用全面的辩证的眼光去看待和解决问题。因此，整体思维的培养，在小学数学课堂是极其重要的。

【参考文献】

[1]杨斌.小学数学思维能力的培养方法[J].教师博览（科研版），2016（8）

[2]张晓明.数学思维在小学教学中的体现及探析[J].中文信息，2018（2）

[3]李青云.浅析韦特海默的数学教育思想在小学数学教学中的应用[J].新教育时代电子杂志（学生版），2018（24）

（淮安工业园区实验学校，江苏  淮安  223008）