最小二乘法在地质测量中的应用

吴小伟

（西安石油大学地球科学与工程学院，西安710065）

1 引 言

矿区的地质测量工作为矿区的前期规划和实际开采提供有力的数据支撑。目前常见的GPS 测量技术、数字摄影测量技术等被广泛应用于矿区的地质测量工作中。此类技术可结合具体地形地貌来计算开采空间、开采时间、开采设备等，也可通过数字影像测出坍塌区的具体形态和特征，如体积、深度、形态等[1-3]。由于地形地貌差异和数据仪器测量精度的影响，会存在一定的误差[4]，以较大误差值预测实际的矿产量、开采率等数值，将对生产实践造成不利影响。最小二乘法作为最佳的观测组合工具之一[5]，具有精确性高、误差小的特点，广泛应用于诸多领域中。在现阶段大数据迅猛发展的环境下，以相同地形、地理条件为基准，可对开采矿区的数据进行精准记录和分析。采用最小二乘法算法，把开采数据随深度的改变，以体积为参考对实际开采量数据进行建模。根据最小二乘法令平方和最小化的方式减小误差，通过相关系数，利用MATLAB 软件编程拟合成具体的函数。后期在具体的评估和预测中，可以从相同的地形和地理位置下从数据库中匹配曲线函数，计算新矿区的开采量和固定体积开采率等数值。

2 算法应用原理

最小二乘法是高斯于1809 年所著的《天体运动论》中提出的。它是数学中用于数据匹配的一种最佳方法[6]，运用逼近原则，寻求数据，让实测数据与估计数据平方和最小，即距离和最小，来寻测和匹配最佳的函数数据，从而拟合成函数曲线。

2.1 算法应用的必要性

矿区第一深度空间定义为由地表到深度500m处；第二深度空间为500m～2000m；第三深度空间为2000m 以下[7]。以具体深度空间为界限，对每一深度空间的矿区开采数据进行收集、整理、分析。由于地形地貌的不同，随着深度的增加，体积的变化，开采总量整体呈上升趋势。同一定义空间下，由于地表平面的不规则形状，选取固定深度会造成体积的差异，从而造成固定体积中开采率的差异，所以开采总量的改变不能用具体的函数表示。统计体积V 和开采总量F，用散点图标记，利用最小二乘法算法，对散点图采取拟合方式，建模构造函数曲线。同时，针对地形地貌的改变，平面图形的建立也可采用最小二乘法算法减小误差，进行建模，模拟函数曲线。

2.2 最小二乘法原理

在对地表平面面积的运算中，长度和宽度的改变，以及矿产资源中固定体积V 与矿产量F 的改变，皆符合建模构造函数曲线。结合拟合次数的方法[8-9]，对散点图进行数值分析，并通过MATLAB 软件数据建模，寻求最佳的函数图像。理论推导过程为：对给定数(xi,yi) （i=0,1,2,...,m），共 m+1 个数据坐标点，选取多项式P(x)，满足：

函数P(x)即称为拟合函数，或最小二乘法解，设：

式中，a0,a1,a2,...,an为待求的未知数，n 为多项式的最高次幂，因此该问题化为求I=I(a0,a1,a2,...,an)的极值问题。由多元函数求极值的必要条件：

可以得到：

这是一个关于a0,a1,a2,...,an的线性方程组，用矩阵表示如下：

因此，只要给出坐标点(xi,yi)及其个数，再给出所要拟合的参数n，则可求出未知数矩阵[a0,a1,a2,...,an]。

3 地质测量实施应用

3.1 地质测量设计思路

地质测量的整体实施步骤及部分环节的设计理念如图1 所示。根据地表形状测绘出图形，对图形求解面积。由于平面面积的不规则性，按积分求解平面面积。为提高精确性，选取固定深度求解体积，统计矿产开采量，利用所记录体积内的开采量，运用二乘法对数据建模，运用MATLAB 软件编程，拟合成具体的函数曲线。

图1 地质测量流程图

3.2 平面面积计算理论

通过地表平面形状，按比例缩小，测绘出具体的平面图纸。利用平面直角坐标系计算图纸面积，按比例放大，计算地表平面实际面积。平面面积计算可采取过蒙特卡洛方法，然而由于地表平面的不规则形状，类似几何概型面积比值求解的思路不适用于地质矿产精准的测量。在此种情况下，对平面面积的求解采用以X 轴为宽，Y 轴为长建立平面直角坐标系，为减小误差宽度改变、遵循等差数列及公差较小的增长方式，以平面图形长度的边缘建立平面直角坐标系（x,y）。利用MATLAB 软件对数据建模处理，拟合成y 与x（即平面长度与宽度）的具体函数表达式，利用积分思想求解面积。

不规则形状的平面图形积分法如图2 所示。在区间[a,b]内分割成 n 份（n →∞），每份矩形面积的加和为最后整个区间的面积，即：

由于f(x)数据建模是根据幂指数拟合具体的函数图像，所以f(x)在区间内是可积分的。把该积分的极限值定为该区间的定积分，即：

以此求出测绘图形的具体面积，根据缩放比例求出地表平面的实际面积。

图2 不规则形状的平面图形积分法

3.3 模拟面积仿真实验

对数据的面积求解，模拟出拟合函数曲线。遵循上述平面面积求解理论，根据长度和宽度确定7组（x,y）坐标，具体为：（x1,y1）＝（-3,4）；（x2,y2）＝（-2,6）；（x3,y3）＝（-1,7）；（x4,y4）＝（0,9）；（x5,y5）＝（1,12）；（x6,y6）＝（2,34）；（x7,y7）＝（3,31）。运用数据建模的思想，结合MATLAB 软件进行编程设计，对数据做多项式最小二乘拟合。利用已知的坐标呈现散点图的形式，确定模拟参数的幂指数，根据数据确定矩阵，研究幂、行、列之间的关系式。根据方程确定系数，制作出具体的拟合函数曲线。实验结果如图3、图4 所示，以多次拟合结果的两种情况为例做出对比分析，图3 是六次幂的拟合曲线，图4 是五次幂的拟合曲线。基于最小二乘法图像拟合原理，使散点图中坐标点尽量多地落在回归方程上，可果断舍去五次幂的拟合图像，选取六次幂拟合图像。

图3 六次幂拟合曲线

图4 五次幂拟合曲线

用MATLAB 求出具体的系数 a(1), a(2)，...，a(7)数值，具体计算语句为：f(x)=(9.0000)+(-2.2737e-013)*x+(-0.8056)*x.^2+(-2.7500)*x.^3+(1.4444)*x.^4+(0.2500)*x.^5+(0.1389 )*x.^6。根据函数解析式，利用积分求解平面面积。以下代码为MATLAB 软件编写图像拟合过程的程序设计代码：

4 矿产开采量测量

求得地表平面的面积，以深度的增长遵循等差数列公差（d＜1m）进行增长，通过 V=S·h 求得体积，并在开采过的矿产中统计该体积中的矿产量F，以体积作为X 坐标，实际的矿产量做为纵坐标建立多组数据（V,F）。运用最小二乘法算法，同上述地表面积求解过程的数据拟合方法类似，进行数据建模。采用幂指数形式拟合成具体曲线函数。根据不同幂指数的形式做多次拟合，选取散点图尽量多的在曲线上选择最高幂指数的拟合曲线。也可在MATLAB中进行编程设置，输入数据后一次输出多个最高幂指数拟合图像。观察坐标点在拟合曲线的多少，选择拟合曲线函数，具体求解拟合参数的系数。为提高精确度、减小误差，可在Excel 文件中建立多组数据，在MATLAB 中通过读入的方式录入数据。确定拟合曲线后，可根据曲线函数计算固定深度、固定面积矿产开采量、开采率、固定深度总开采量等数据。

经以上步骤，在大数据的支持下，可对不同地理位置和环境下的矿产数据进行数据建模，拟合成不同的曲线函数。相同条件下，遇到未开采的矿区时，可以从已建成的拟合曲线函数数据库中，匹配函数曲线与解析式，通过深度和地形面积数据预测未开采矿区的开采量及固定体积下的开采数据等。

开采过程中，通过匹配拟合函数，可对某一体积下的开采率进行比对，研究开采状态和未知状况，为合理、科学开采提供参考及技术支持。

5 结束语

最小二乘法作为匹配数据的最优算法之一，广泛的应用到各个领域，本研究将其应用到地质测量中。在大数据下，为减小误差、遵循实用性的准则，针对开采过的矿区，运用最小二乘法法，以MATLAB软件编程，对地表平面的面积、开采量等数据建模处理，以幂指数拟合方式确定具体拟合图像，构造具体曲线函数解析式，建立多种地理环境下拟合函数数据库。地表面积求解中拟合函数图像与实际图形结合，运用积分巧妙解决了不规则图形面积求解问题。数据建模拟合的具体函数对今后新矿区的开采提供有利的、精确的数据支撑。数据模拟实验对数据的建模处理提供了思路和方法，对理论数据和实际数据逼近提供了有利的保证，同时也验证此算法在地址矿产测量中的实用性和可行性。