多平面截切圆柱体的三面投影作图方法探讨

于淑静　韩加好

摘 要：工程制图作为一门重要的专业技术基础课，旨在培养学生的空间思维和读图、绘图的能力。结合工程制图的教学实践，指出了求圆柱截切体投影的关键是求其截交线的投影;明确了圆柱截交线的类型与投影方法;以多平面截切圆柱体产生的圆柱截切体为例，通过逐个分析截平面、截交线的空间性质，化解作图中的难点，详细说明了其三面投影的作图方法与步骤。

关键词：圆柱 截交线 截切体 投影 作图方法

Discussion on Three-sided Projection Drawing Method of Multi-plane Truncated Cylinder

Yu Shujing，Han Jiahao

Abstract：Engineering drawing is an important professional technical basic course， which aims to cultivate students' spatial thinking and the ability of reading and drawing. Combined with the teaching practice of engineering drawing， the article points out that the key to finding the projection of the cylindrical truncated body is the projection of its truncated line; the type and projection method of the cylindrical truncated line are clarified; the cylindrical truncated by cutting the cylinder with multiple planes is an example. By analyzing the spatial properties of the cross-section plane and the cross-section line one by one， the difficulty in drawing is resolved， and the drawing method and steps of its three-sided projection are explained in detail.

Key words：cylinder， cut line， cut body， projection， drawing method

工程制图是工程技术人员之间交流设计思想的语言，工科类学生只有熟练掌握这一专业技术基础课，才能够在学习后续课程时正确理解并绘制符合国标要求的工程图样。[1]圆柱截切体的三面投影作图方法是本课程的教学重点和难点之一，其上截交线的画法是截切体视图绘制的关键。在实际工程中为了使学生能够正确、完整、清楚地表达一些机件的结构形状，立体截交线作为形体表面交线之一，其绘制方法是学生学习制图类课程必须掌握的知识点。[2]所以，本文从圆柱截交线入手，对单平面截切圆柱产生的截交线类型与投影方法进行了梳理，进而理顺了多平面截切圆柱时截切体的三面投影作图过程，方法正确，思路清楚。

1 圆柱截交线的类型与投影方法

要正确绘制圆柱截切体的投影，首先要会画圆柱的截交线。当平面截切圆柱体时，产生的截交线通常有三种形式，其画法也不同。第一种情况，当截平面平行于圆柱体的轴线截切时，与圆柱顶面、底面产生的截交线均是直线，与回转面产生的截交线是平行于轴线的直线，也是圆柱表面上的两条素线，与顶面、底面的截交线围成一矩形。此时，由于截交线是由直线组成，可以先找到端点的投影，再直线连接。第二种情况，当截平面垂直于圆柱体的轴线截切时，截交线的形状为圆。[3]这个圆与圆柱的圆是同一个圆。第三种，当截平面倾斜于圆柱体的轴线截切时，截交线为椭圆。此时，由于椭圆是非圆曲线，我们采用表面取点的方法来画截交线。即先求出特殊位置点，再补充一般位置点，然后光滑连接。

2 多平面截切圆柱体三面投影的作图方法

当单个平面截切圆柱体时，其产生的截交线的投影相对简单易求;若圆柱截切体是由多个平面截切后产生，则其产生的截交线通常比较复杂，截切体投影图的绘制也更为困难。此时，就要逐个平面进行分析，先分别求出各个截平面上的截交线的投影，再完善图形。下面我们通过举例来分析多平面截切圆柱体时的三面投影，完成其视图的绘制。

例题，如图1所示，圆柱被M、N、P三个平面截切，求此圆柱截切体的三面投影图。

第一步，几何分析。根据已有的圆柱截切体主视图和左视图可知，该截切体被截切之前是軸线为侧垂线的圆柱，其正面投影和侧面投影已经完成，水平投影需要我们补画。

第二步，截交线的形状分析。由于该截切体是由圆柱体被多个平面截切后产生，所以我们要先明确各截平面的相对位置、性质，再分析产生的截交线的形状。通过分析可以得知，该截切体是由圆柱被三个平面同时截切后产生。其中，左边的平面M是侧平面，垂直于圆柱轴线，与圆柱表面产生的截交线为一段圆弧;中间的平面N是水平面，平行于圆柱轴线，与圆柱表面产生的截交线为两条直线;右边的平面P是正垂面，倾斜于圆柱轴线，与圆柱表面产生的截交线为一段椭圆弧。另外，水平面N与M、P两面均相交，产生的交线也均为正垂线。

第三步，截交线的投影分析与绘制。为了便于分析和作图，我们按照自左至右的顺序，逐段进行截交线的投影分析与绘制。为了便于想象并清楚说明作图过程，我们将后续步骤中所取的点在实体图上标注出来，如图2所示。

第一段，侧平面M上的截交线为一段圆弧。根据侧平面的投影特性可知，其上截交线的正面投影积聚在截平面M的正面投影上，为一段直线;侧面投影反映实形，为一段圆弧，且与圆柱的侧面投影重合;水平投影积聚为一段直线。由于侧平面M在截切时经过了此平面上圆柱上下转向轮廓线上的点I、II，这两点是特殊位置点，所以长对正画线，在上下转向轮廓线的水平投影线上即可找到此两点的水平投影1、2，再直线连接1、2点，即为截交线在水平面的投影，如图3所示。

第二段，水平面N上的截交线为两条侧垂线。根据水平面与侧垂线的投影特性可知，其上截交线的正面投影积聚在截平面N的正面投影上，为一段直线;侧面投影积聚为两点，且在侧面投影圆上;水平投影反映实形，也是直线。先找到此两条侧垂线被M、P面截取的端点III、IV、V、VI在正面和侧面的投影3、4、5和6;再根据投影关系，找到这四点在水平面的投影3、4、5和6;然后，分别直线连接3、5和4、6点，即为此截交线在水平面的投影，如图4所示。

第三段，正垂面P上的截交线为一段椭圆弧。根据正垂面的投影特性，其上截交线的正面投影积聚在截平面P的正面投影上，为一段直线;侧面投影為一段圆弧，与圆柱的侧面投影重合;水平投影为椭圆的类似形，仍是椭圆。在这里，我们采用表面取点法来画，画法步骤如下：

（1）找出椭圆弧上的特殊位置点。这段椭圆弧上的特殊位置点有V、VI、VII、VIII、IX。其中，V、VI点是最低点，同时也是最左边的点，其水平投影在上一步骤中已经求出;VII点和VIII点分别是椭圆弧的最前点和最后点，也是圆柱上下转向轮廓线上的点和椭圆短轴的两个端点。我们找到此两点的正面和侧面投影投影7、8和7”、8”，再长对正，在上下转向轮廓线的水平投影线上找到此两点的水平投影7、8。IX点是最高点，也是圆柱前后转向轮廓线上的点和椭圆长轴的一个端点。找到此点的正面和侧面投影9和9”，再长对正，在水平投影面的中心线上找到此点的水平投影9。至此，椭圆弧上的特殊位置点均已找到。

（2）找出椭圆弧上的一般位置点。为了作图准确，还需要在特殊位置点之间补充一般位置点X、XI、XII、XIII。先找到一般位置点X、XI在正面的投影10和11，根据从属性，找到这两点的侧面投影10”和11”，再根据长对正、宽相等找到这两点的水平投影10、11。应用同样的方法，找到一般位置点XII、XIII的水平投影12、13。至此，椭圆弧上选取的一般位置点均已找到。

（3）光滑连接各点。在水平投影面上，将以上点光滑连接起来，得到此椭圆弧截交线的水平投影，如图5所示。

第四步，完善图形。首先，水平面N与侧平面M相交于一条正垂线，这条线与M上的截交线水平投影积聚为直线34，其水平投影已经求出;水平面N与正垂面P也相交于一条正垂线，在水平面投影反映实形，可见。所以连接水平投影5、6，即为此正垂线的水平投影。其次，I、II、VII、VIII这四点是圆柱上下转向轮廓线上的点，I、VII和II、VIII之间的轮廓线被截掉，所以，在水平投影面上，1、7点之间以及2、8点之间的轮廓线不画，1、2点以左和7、8点以右的轮廓线要补全。

通过以上作图步骤，我们完成了此圆柱截切体的三面投影图，如图6所示。

3 画圆柱截切体三面投影时要注意的问题

圆柱截切体三面投影图绘制的难易程度与截平面的数量和相对位置有很大关系，尤其在求画各截交线的投影时，还要先明确形状后才能绘制。只有能够熟练想象立体的空间结构，熟悉各几何要素的投影性质，才能正确地绘制其三面投影图。结合上述例题，在绘制圆柱截切体三面投影时要注意以下问题：

（1）几何形体分析。作图时不能急于画线，要先根据已知条件，分析圆柱截切体的空间状态。

（2）截交线的分析。当圆柱体是被多个平面截切时，要逐个截平面判断其性质，分析截交线的形状与投影，按照步骤完成截交线的作图。这需要充分掌握各平面的类型与投影特性。例如本例中，三个截平面在正立投影面上均具有积聚性，从其投影线的形态可判断出这三个截面依次为侧平面、水平面和正垂面。

（3）图线不能多画，也不能少画。首先，两截平面交线的投影不能被漏画。其次，圆柱体转向轮廓线上的点往往是某一投影面轮廓线画与不画的分界点，如本例中1、7点和2、8点左右两边轮廓线的画法。

（4）不可见截交线的画法。当截交线不可见时，其分析与画法与前述相同，只是不可见部分用虚线绘制。

4 结语

工程制图是工科专业的基础与核心课程。[4]绘图过程中需要较好的空间思维能力和空间构图能力。截交线是整本书学习的重点，也是学习的难点，更是学好机械制图的基础。[5]对于多平面截切圆柱体产生的复杂截切体，要学会分析与解决问题的思路，把握作图的规律与要求，熟练应用二维图形与三维图形之间的思维转换，化复杂为简单，为正确完成工程图样的绘制打下良好的

基础。

参考文献：

[1]郭淼现，朱文博.基于三维思维培养的工程制图课程教学探索与实践[J].南方农机，2020，51（03）：136-137.

[2]韩飞坡，陈华，朱全.关于单平面截切基本体截交线教学探讨[J].赤峰学院学报（自然科学版），2019，35（03）：163-165.

[3]裴文艳.浅谈比较教学法在《圆柱体截交线》中的应用[J].中国新通信，2020，22（01）：178.

[4]朱文博，李海渊，纪海慧.浅议工程制图教学改革[J].大学教育，2020，（10）：68-70.

[5]杨晓珍.浅谈立体表面的点和截交线的画法[J].中国设备工程，2018，（04）：124-125.