探析高考中概率统计系列试题及命题走向(上)

2020-02-29王慧兴特级教师

高中数理化 2020年1期

王慧兴(特级教师)

《普通高中数学课程标准(2017年版)》提出数学教育要引导学生会用数学的眼光观察世界,会用数学的思维思考世界,会用数学的语言表达世界. 其中数学的眼光,本质上是数学抽象,抽象使得数学具有一般性;数学的思维,本质上是数学推理,推理使得数学具有严谨性;数学的语言,本质上是数学建模,建模使得数学应用具有广泛性. 数学抽象、数学推理、数学建模又可再细化为六个关键能力:数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析,从而构成数学学科核心素养. 高中作为学生成长的关键阶段,数学教育肩负着培育学生数学核心素养、发展关键能力的重任. 课程标准提出数学学科核心素养并非偶然,而是对改革开放以来教育实践、研究的提炼,全国高考数学试题的伟大实践也清晰表现出这一提炼过程.从20世纪70年代末恢复高考时比较单一地考知识,到20世纪90年代中期开始增加对应用题的考查,再到21世纪初教材改革,把概率、统计及其应用正式分层次编入中学教材,2000年以来的高考命题把数学应用集中表现为基于概率与统计应用的数据分析,2019年全国卷更是把组合计数、统计分析融入递推方法，引向数学模型，虽然没有要求考生建模,但要求学生理解模型,通过数学运算与数据分析评判模型.这种试题立意新变化既流露出未来数学建模在高考中怎么考,也流露出概率与统计系列内容在高考试题中的立意走向.

1 知识提要

排列与排列数、组合与组合数、基于两个计数基本原理合理简捷分类与分步是高考命题中组合计数试题的基本形式.组合计数是概率统计的基础,概率贯穿在统计分析、相关性分析与统计案例各项内容中. 组合计数与概率构成高考数学试题的一个重要板块. 2019年高考试题已经表明概率计算与统计分析将是高考新题型“数学建模”试题立意的亮点,是培育学生数学应用意识、发展模型素养、引领学生应用数学处理身边实际问题的基本题材. 这一系列内容的相关知识与技能如表1所示.

表1

2 计数与概率

2.1 组合计数

组合计数是概率计算的基础,在高考试题中也会出现立意单一的组合计数问题,通常表现为基于分类加法原理与分步乘法原理的合理简捷分类与分步,综合应用排列与组合概念,检测学生应用排列数与组合数完成组合计数的基本技能,其难点表现为合理简捷进行分类与分步(如表2).

表2

在高考命题中,即使是选择题和填空题,也都表现出不同程度的综合性,几乎不会出现单一考查某个知识点的考题,强调知识的综合运用.

例14个不同的小球放入编号为1,2,3,4的4个盒中,则恰有1个空盒的放法共有________.

例2设集合I={1,2,3,4,5},选择I的两个非空子集A和B,要使B中最小的数大于A中最大的数,则不同的选择方法共有( ).

A. 50种 B. 49种 C. 48种 D. 47种

解析按照A中最大数i分类:i=1,2,3,4,因此分为四类:

第一类,A中最大数i=1,A={1},∅≠B⊆{2,3,4,5}共有24-1=15个,这一类子集组AB共有1×15=15个.

第二类,A中最大数i=2,A={2}∪X,其中X⊆{1},A共有2个;∅≠B⊆{3,4,5}共有23-1=7个,这一类子集组AB共有2×7=14个.

第三类,A中最大数i=3,A={3}∪X,其中X⊆{1,2},A共有22=4个;∅≠B⊆{4,5}共有22-1=3个,这一类子集组AB共有4×3=12个.

第四类,A中最大数i=4,A={4}∪X,其中X⊆{1,2,3},A共有23=8个;∅≠B⊆{5}共有21-1=1个,这一类子集组AB共有8×1=8个.

由分类加法原理,符合题意的子集组的个数是15+14+12+8=49,故选B.

本例的一般形式是:给定正整数n≥2,集合I={1,2,…,n}的非空子集组AB,满足B中最小数大于A中最大数,这样的子集组AB个数是

(n-1)2n-1-(2n-1-1)=

(n-2)·2n-1+1.

组合数与排列数能直接用于不同元且不重元的排列计数与组合计数,但我们经常会遇到“同元”与“重元”的组合或排列问题,其基本模式可概括为例3.

例3不定方程x1+x2+…+xn=m(m，n∈N*，m≥n),求证：

解析题目本质上是“同元分配”问题的抽象,即把m个相同的东西分配给n个人的不同分配数,由分步乘法原理得到非负整数解的个数是mn吗?当然不是,这里主要是“同元”所致.我们介绍“映射转移”求解方法:把计数对象映射到结构清晰、便于计数的另一组对象完成组合计数.

(1) 因为m≥n,故任取方程的一个正整数解(x1,x2,…,xn),则

1≤x11≤x1

上述“映射转移”本质上是“转化化归”,我们也可以把求非负整数解的个数转化为求正整数解的个数.

例4(更列问题)给定n∈N*,把(1,2,3,…,n)重排为(a1,a2,a3,…,an),当所有ai≠i(1≤i≤n)时,称(a1,a2,a3,…,an)为(1,2,3,…,n)的一个更列.求(1,2,3,…,n)的更列个数.

解析 (1,2,3,…,n)的更列个数与n有关,记更列个数为an,则a1=0,a2=1,a3=2.

下面建立递推关系式:当n≥4时,第一步，把n排在第i(i≠n)位,共有n-1种方法.第二步,排i，有两种办法,其一,把i排在第n位,得到an-2个更列;其二,不把i排在第n位,i排在第j位(j≠n,i),共有an-1个更列(相当于把已排入n的第i位盖住，视元素i为元素n，再做n-1个数列的更列).因此，综合应用分类加法原理与分步乘法原理，得到递推关系an=(n-1)(an-2+an-1)(对n=3也成立).

因为an-nan-1=-(an-1-(n-1)an-2),所以

an-nan-1=(-1)n-2(a2-2a1)=(-1)n,

故

递推方法是求解很多问题的常用方法. 当我们要求解一个“多元”问题时,常常由于求解难度较大,所以将其数据“元数”化为n,形成一批子问题. 这些子问题之间在结论数据上存在关联,就是说其数据之间存在递推关系,起到传递结论数据的作用,这样就把问题转化为计算“少元”问题,元数很少的问题很容易求解. 因此,递推方法本质上是基于数据关联性化难为易、化繁为简的有效方法. 高考全国卷过去也考过更列问题，例如将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数字,求每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法种数？