升降算符在Lz表象求解中的应用①

肖 逍，张海丰

(佳木斯大学理学院，黑龙江 佳木斯 154007)

0 引 言

在量子力学的基础性研究中，升降算符被广泛应用于角动量的研究。例如：呼和满都拉等分析了一维谐振子模型中升降算符的性质及电子自旋角动量的升降算符[1～2]；田杏霞等使用升降算符给出了角动量算符的矩阵表示并进行表象变换[3]；梁霄使用代数解法给出了量子力学中的若干升降算符[4]；王百川等从不同角度分析了升降算符的性质和作用[5]；王东方等使用升降算符对电子自旋和角动量耦合进行了分析[6]；寻大毛等给出了角动量量子数1的升降算符并生成了球谐函数[7]。本文就是将升降算符应用于Lz表象的具体求解之中，对物理量的本征值和平均值进行求解。

1 升降算符及角动量代数

根据文献[1]，升算符定义为

(1)

降算符为

(2)

于是有

(3)

(4)

(5)

于是

(6)

(7)

可以得到对易关系

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

将降算符和升算符作用于|lm〉给出

(14)

(15)

m=-l,-l+1,…,0,…l-1,l

(16)

于是

(17)

(18)

|lm〉是正交归一的，即

〈l1m1|l2m2〉=δl1l2δm1m2

(19)

其完备性关系为

(20)

2 升降算符在Lz表象求解中的应用

(21)

可以看到

(22)

ћ2[l(l+1)-m2-m]=

ћ2[l(l+1)-m(m+1)]

(23)

又因为

(24)

所以

ћ2[l(l+1)-m2+m]=

ћ2[l(l+1)-m(m-1)]

(25)

由对易关系

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

(39)

(40)

ћ2[l(l+1)-m2]

(41)

(42)

(43)

3 结 论