简化圆锥曲线运算方法的探究

廖应春

（重庆市求精中学校 重庆 400015）

在圆锥曲线教学中常常发现，学生知道这道题怎么做，但结果却是错误的。表面的原因，是运算量太大。但深层次原因，却是学生的数学运算能力不强！数学运算是挡在学生解决圆锥曲线问题面前的一道难以跨越的坎！那么，如何跨越这道坎？笔者对此进行了一定的探究，得出一系列简化运算、减少运算量的具体方法，在此抛砖引玉，仅作参考。

一、巧设直线方程

直线方程的形式选择恰当，可以从源头上起到减化计算的效果。本文主要指以下三种形式的直线方程：

①纵截距式：y=kx+n

若直线l过y轴上的点(0,n)，则设直线l：y=kx+n；若直线l与抛物线x2=2py联解，设直线l：y=kx+n。

②横截距式：x=my+n

若直线l过x轴上的点(n,0)，则设直线l：x=my+n；若直线l与抛物线y2=2px联解，设直线l：x=my+n

③已知两点A(x1,y1),B(x2,y2)，求直线AB的方程

二、在分式运算中，要去分母，并注意分离常数

①去分母。分式运算，先去分母后运算。

②分离常数。在分式求和中，先分离常数，再求和。

三、多项式运算中，注意提取公因式、公倍数

多项式计算中，尽量先提取公因式、公倍数，如：

8(k+1)(k+2)+32(k2-1)=8(k+1)[(k+2)+4(k-1)]=8(k+1)(5k-2)

四、涉及多个变量或多个字母的运算

①把握主元（变量），区分常数与变量：当算式中含有多个（两个及以上）变量或字母时，认定哪个是主要变量，标记为主元，整个化简计算过程中都围绕着这个主元进行，而其它项可暂不作过多化简。

五、弦长公式和面积公式

求弦长、求三角形面积是圆锥曲线的常见题型，也是高考的重点题型。

（一）弦长公式

若直线l与曲线C相交于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点(如图2)，求弦长 .

（二）面积公式

若直线l与曲线C相交于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点(如图4)，O为坐标原点，求ΔOPQ的面积。

六、应用平几知识，有效转化条件

④三角形面积的转化：面积之比⇔边长之比⇔坐标之比

⑤利用相似三角形的相似比、平行线分线段成比例等转化。

教学实践表明，学生在解析几何题中往往还缺乏运用以上方法的意识，盲目运算的现象普遍存在。要改变这一现象，需要教师抓住每一次训练机会，通过例题讲解，不断有意识地加以引导，使学生逐步领悟这些方法的优点，提高运算能力，有助于培养学生的数学核心素养。