拉普拉斯变换及其在分数阶微分方程拓展训练

申 渝 邹馥鸿 崔嘉慧 杨 鹏

(重庆科技学院数理与大数据学院 重庆 401331)

0 引言

拉普拉斯变换是最重要的积分变换之一，在数学分析学科和工程实践科学中有广泛的应用。该变换的目的是建立实变量和复变量之间的关系。如何灵活运用这一数学工具来处理专业工程实际问题将成为一项重要的课题。为了更好地应用拉普拉斯变换，本文罗列了拉普拉斯变换的基本概念及其相关重要的性质。这些基本内容将是处理工程实际问题的关键。基于拉普拉斯变换的方法是一种重要的求解常微分方程方法。我们可以根据这些拉普拉斯变换的基本知识处理某一类常微分方程，总结重要的数学技巧。分数阶微分方程是近年来重要的研究工具，在许多工程问题中得到了应用，如图像处理领域。我们将基于拉普拉斯变换的技巧拓展训练到求解某一类分数阶微分方程，为后续分数阶微分应用到图像处理中做准备。

1 拉普拉斯变换及其在求解微分方程中的应用

拉普拉斯变换是解决工程实际问题的强有力工具，其可把时域上的微分方程转化为复数域的代数方程。拉普拉斯变换因其重要的性质，使其在分析线性动力系统时非常有用。拉普拉斯变换主要有如下重要性质。这些性质将用于求解微分方程。

2 分数阶微分方程的拓展训练

结合分数阶导数和拉普拉斯变换的分数阶积分给出拉普拉斯变换下的分数阶微分。假设a大于零，且n是大于a的最小整数。假设函数存在拉普拉斯变换，则

最后，借鉴传统的微分方程的解法和拉普拉斯下的分数阶微分，我们训练拉普拉斯变换在分数阶微分方程求解应用。假设，给定方程为