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浅谈“对应”与“顺序”原则在《全等三角形》一章中的应用

2020-02-22杨绍政

科学导报·学术 2020年54期

杨绍政

【摘 要】推理是《全等三角形》一章中的重点兼难点,是学好数学的分水岭,掌握“对应”与“顺序”原则,在一定的程序和规则的反复训练,就是多少人苦苦寻觅的推理妙法。

【关键词】全等三角形;对应;顺序

数学学习中,很多知识具有一定的逻辑性与严谨性。掌握它,学习就会变得轻松而有规律,反之,只会学习吃力,事倍功半,丧失学习兴趣,成绩情况可想而知。

《全等三角形》一章,推理是本章的重点兼难点,是继《相交线与平行线》中简单推理的飞跃,学习本章,学生的推理思路将变得清晰,逻辑思维能力进一步增强,也为今后更深层次学习数学奠定基础,同时也是学好数学的分水岭,此部分知识若能平稳过渡,今后学好数学是轻而易举的事;相反,今后要学好数学,可能性不大。现从“对应”与“顺序”原则在《全等三角形》一章中的应用,谈谈推理的一些微妙之处。

现行人教版初中数学教材《全等三角形》中第一个完整的证明题是P36的例1。题目为:如图△ABC是一个钢架,AB=AC,AD是连接点A和BC中点D的支架,求证:△ABD≌△ACD.

從证明过程可以看出,推理三角形全等是具有严格的框架的,把握关键步骤很重要。即③“在△×××和△×××中”属关键的第一步;大括号④—⑥属关键的第二步,具体有三个符合判定的条件组成,如果不属于已知条件或隐含条件的,必须在③之前事先推出;⑦“△×××≌△×××(×××)”属关键的第三步。熟记③—⑦这一基本框架,是学好三角形全等证明的大前提,这一框架中还必须把握的是“对应”和“顺序”原则,即“和、=、=、=、≌”左侧应是同一个三角形或同一个三角形的元素,右侧应是另一个三角形或另一个三角形的元素,且每处都是对应顶点的字母必须写在对应的位置上,可简记为“左右对应统一”,大括号里的三条件必须按判定进行书写,如涉及“SAS”判定,意味着第一行写边,第二行写角,第三行写边,涉及“HL”判定,则大括号内第一行写斜边,第二行写直角边,其它依次类推,可简记为“上下注意顺序”。

又如P41的练习题第1题。题目为:如图,AB⊥BC,AD⊥DC,∠1=∠2.求证AB=AD.

结合前例及本例证明过程可以看出,“左右对应统一”、“上下注意顺序”均把握的非常到位,此题用到的是“AAS”判定定理,第一个“A”与“S”是“对”的关系,即边是角的对边,角是边的对角,将④和⑤换位置,就不是“AAS”,将⑤和⑥换位置,也不是“ASA”,这是很多同学证明时,极易弄错之处。很多同学常易将条件满足“AAS”判定的误用为“ASA”,将条件满足“ASA”判定的误用为“AAS”,甚至条件满足“HL”判定的误用为“SAS”,或干脆发明创造“SSA”或“ASS”,实乃犯顺序之病也。事实上,三角形的组成元素包括三个顶点、三个角和三条边,判定三角形全等用到的是边、角,我们应该把已知、隐含或已证等条件在三角形中醒目地标识出来,然后结合判定定理按顺时针或逆时针的顺序进行梳理,涉及两角一边的,从角开始,推敲一下是“ASA”还是“AAS”,涉及两边一角的,从边开始,先考虑“HL”(若有直角)再考虑“SAS”。

《全等三角形》是初中数学三大难点之一,这里的难点要解释为转折、重要和提醒之意,而非传统的难点,但必须坚决突破。也许你在初一时的数学成绩很一般,某些知识还处在混乱,甄别能力较弱,可一旦用心地学了《全等三角形》一章后,逻辑思维能力必将增强,推理能力一定提高。这样,思路越来越清晰,知识体系逐步向完整靠拢,整体数学素养将是一次不小的飞跃,乐学和自主学习方面就会呈现新的良性局面。

“对应”与“顺序”原则作为数学学习中必备的素养,应在初中数学学段的教学中逐步渗透,在恰当的时机全盘托出并掌握,《全等三角形》一章的推理教学属最恰当时机,教师应做好主导,科学、合理运筹,让学生掌握“对应”与“顺序”原则在推理中的微妙之处,轻松突破此难点。

总之,掌握“对应”和“顺序”原则在推理中的应用很重要。也许你还在苦苦寻觅一些推理的高招妙法,可掌握了一定的程序和规则的反复训练就是最佳方法。教师在主导课堂中,应充分利用学生的课堂作业、问题回答和检测等手段,弄清学生情况,在充分了解学生的前提下,不断发现学生在运用“对应”和“顺序”原则在推理中的易错之处,查缺补漏,争取全面提高。从《全等三角形》一章的学习中再次证明,学习只要得法,一定能学好;学习只要有人指导,一定事半功倍;学习只要步入正轨,不想学好也难。

参考文献:

[1]《义务教育课程标准实验教科书·数学》(八年级上册)人民教育出版社 2013年1月

(作者单位:云南省临沧市凤庆县第一中学)