理清“明线”与“暗线”优化数学教学

吴艳萍 徐章韬

(华中师范大学 430079)

1 引言

随着新课程改革的不断实践，回归数学教育的本质，真正发挥数学教育的价值已成为现代数学教育所追求的目标.在数学教育发展的这一大趋势下，章建跃教师提出“数学教师必须在理解数学、理解学生、理解教学上狠下功夫”[1].确实，数学教师需要创造数学知识之数学理解，不是数学知识的搬运工，并非简单地将数学知识和盘托出机械地传递给学生，而是要将数学知识加以重组设计，以有条不紊层次清晰的方式帮助学生理解建构数学知识.所以，教师要进行有效数学教学，必须深入理解数学的本质，围绕数学知识的主线设计出好的教学.然而，在教学实际中，数学教师往往侧重于数学知识的重点内容及应用，忽视数学知识发生发展的脉络甚至是蕴含在知识内的思想方法，这就导致教师难以把握数学教学的核心，也就难以设计出有效的教学主线，长此以往，数学教育的价值将难以实现.因此，为实现数学教育的价值，教师必须在理解数学的基础上理清教学主线，围绕知识明线使数学知识结构完整，层次清晰；借助暗线使学生领悟数学的基本思想方法，锻炼和提升数学思维并逐步形成数学核心素养.

2 数学教学中的“明线”

数学教学中的“明线”是教师在理解课程标准及数学知识的基础上围绕数学内容的核心，为促进学生对数学知识的理解而设计的一条合乎数学逻辑和学生心理逻辑的知识路线.之所以强调教学明线的重要性，是因为这不仅关系到教师对课堂教学整体过程的把握，也关系到学生建构知识的有效性.

数学知识不是一个个没有交集的点，而是一个相互联系的整体，教师在理解数学时应把蕴含于数学知识内的“明线”提炼出来，在此基础上引导学生从数学知识的“此岸”出发沿着知识“明线”逐步走向数学知识的“彼岸”.因此只有理清数学知识明线才能明确师生教学的整体目标和方向而不至于“东一榔头西一棒子”.教师也只有在理清知识明线的基础上才能设计出反映数学本质的问题情境、激活学生思维的问题串、促进知识发生发展的起承转合，从而创造出有利于学生理解建构数学知识、训练数学思维的数学理解.而对学生来说，不仅仅是主动建构和应用数学知识，更重要的是经历知识的发生发展过程，体悟数学的思考方式.因此，好的数学教学明线是充分发挥教师的主导作用和学生的主体地位的前提条件.

2.1 理清教学内容的“明线”

教学明线，从教学内容上看，是反映数学知识发生发展过程的一个层次序列，是数学教学活动展开的层次鲜明的线索和结构.关于如何架构正确的数学教学明线，我们认为可以从“提出问题、分析问题、解决问题、系统化”四个阶段构建教学明线.任何一个数学课堂教学都有一个研究主题，那么教学应该以学生已有的事实经验为起点引导他们从中发现问题，以学生已有的思维水平为基础引导他们分析问题从而得到数学概念、性质、定理等.为促进学生对知识的强化和迁移，教学还需设置多种不同的问题情境让学生在解决问题的过程中获得知识的多元表征.最后，为帮助学生形成良好的数学认知结构，教学还应让学生获得的数学知识系统化和结构化.例如，偶函数的教学，首先可以从图形的对称性过渡到函数图象的对称性，到两个具体函数图象(y=x2、y=|x|)的观察，再到某个函数(如y=x2+1/|x|)对称性的考察，使学生明确研究对象；其次，要启发学生利用数形结合的方法把图象上的对称性等价转化为代数上的规律性，逐步引导学生得出偶函数的定义；再次，通过不同问题的解决，使学生获得偶函数定义的多种表征及性质等；最后，将偶函数与函数的性质联系起来，从而将对称性进行推广等使知识系统化.

2.2 教师活动的“明线”与学生活动的“明线”

数学教学是以一系列数学活动的形式进行的，问题的提出、分析、解决等都是以活动为载体，在活动中生成，好的数学教学离不开好的数学活动，因此数学教学除了要理清教学内容上的“明线”外，还有理清数学活动的“明线”.师生作为教学的两个基本要素，在数学活动中的角色却是不同的.数学教师作为教学的组织者和引导者，关键在于“引导”；而学生作为学习的主体，关键在于学习的“主动性”，也就是说教师活动的“明线”应体现出“引导性”，学生活动的“明线”应体现出“主动性”.如何构建教师活动的“明线”？首先，教师要创设合适的问题情境并设计合理的学生活动方式，以便让学生从问题情境中发现研究对象或问题.其次，教师要指导学生正确地分析问题建立已知与未知的联系，在关键处设疑或解疑，让学生的数学思维活跃起来.再次，在引导学生分析问题得出答案之后，教师还应组织学生利用新知解决问题以强化对新知的理解.最后，为了使学生获得的知识系统化，教师可以引导学生进行总结与反思等活动.

从学生活动的角度考虑，教学明线应以激发学生的学习动机，使学生认识到学习新知的必要性为起点；其次，借助数学抽象、探索、推理等数学思维经历数学概念、性质、定理等的发生发展过程；再次，应用数学知识解决数学问题，在不同的情境中形成对数学概念、性质、定理的多角度认识；最后，通过反思总结等完善自己的数学认知结构.

总之，教学明线不是对教材知识结构的简单提炼，需要教师在充分理解数学理解学生后对教学的层次序列进行不断打磨.因此确立教学明线教师应注意明线的准确、精炼这两个方面.明线的准确性一方面是指教学明线应满足知识的科学性，体现数学知识的本质，另一方面教学明线应符合知识的逻辑顺序和学生的认知水平，是在学生最近发展区范围内且能够为学生所理解的.明线的精炼性是站在学生角度来说的.认知负荷理论认为，要达到好的学习效果，必须降低学生的内在认知负荷，提高学生的相关认知负荷，优化外在认知负荷.为促进学生对知识的有效建构，教学明线的确立应有利于学生提高相关认知负荷且减少学生的外在认知负荷，也就是说教学明线应减少无意义的数学活动，尽量精炼简洁层次分明.

3 数学教学的“暗线”

数学教育不只是教给学生数学知识、技能，让学生经历知识发生发展的过程，更在于引导学生领悟数学的思想，“学会用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界”.数学知识如果对其进行深入挖掘，会发现除 “明线”外，还有“暗线”贯穿着数学知识发展的全过程.知识暗线一般是指蕴含在数学知识内部的高层次的数学思想或数学核心观点，是一般性思想的体现，对于提升学生的数学思维形成数学核心素养有着重要的作用.

具体来说，数学知识暗线有助于深化学生的认知活动，促进学生对数学知识的自我解释，增强学生所获得知识的整体性和联系性.其次，由于在实际课堂教学中，教师更关注于知识的掌握，而思想方法的渗透则主要体现在解题教学中，这也是造成学生数学知识的掌握与综合应用相脱节的原因之一，而知识暗线能够帮助教师在课堂教学中渗透数学基本思想，让学生在知识的建构过程中也感受到数学思想的魅力.再者，为促进学生学会学习，数学教学应该追求具有一般性的思想方法，而不是过于关注技能技巧方面，纵然某一定理的证明技巧再独特巧妙，它对学生的价值也许仍比不过基于数学核心概念和基本数学思想的一般性方法，这是因为技巧性的方法适用范围有限，只对某些特殊情况有效，而一般性方法更有利于学生的迁移学习和数学能力的养成.

3.1 教学内容的“暗线”

教学暗线，从教学内容上看，是指蕴含在知识内的数学思想方法，对数学知识具有全局性的统领意义，对学生有认识论和方法论层面的意义.例如，在基本不等式、柯西不等式、排序不等式的教学中，我们除了从代数和几何的角度来认识这些不等式外，还可以站在函数思想的高度统领这些重要不等式.当我们深入理解这些数学知识时，可以分析出函数的单调性对这些不等式的证明具有一般方法论的意义.

我们知道数学思想方法或与某些数学内容相对应，如函数思想、极限思想等；或与数学理性思维相联系，如化归思想、类比思想等[3]，也即对于数学知识，教师可以从数学内容或数学理性思维的角度分析所学内容所隐含的数学思想方法.当我们用数学思想方法的高度去审视数学知识内容时，那么我们看到的不再是一些冰冷的符合和命题，而是具有思想性的充满数学魅力的智慧结晶.如此，我们可以从“数学内容——数学思想方法——数学体验”三个阶段构建数学教学“暗线”，让学生在掌握系统数学知识的过程中领悟数学思想方法，体验数学知识显性和隐性的双重价值.章建跃老师更为详细地提出数学教学要以“事实——方法——方法论——数学学科本质观”为暗线，倡导数学教学要注重发挥“一般观念”的作用，要加强一般方法的引导使学生学会数学研究的“基本套路”[4]，这也反应了教学暗线对培养学生理性思维的价值.

3.2 教师活动的“暗线”与学生活动的“暗线”

为发挥“数学内容——数学思想方法——数学体验”这一教学“暗线”的作用，教师和学生的活动“暗线”也应该围绕数学思想方法而展开.

如何构建教师活动的“暗线”？如前所述，基于教师的主导作用，教师的活动应以促进学生对数学思想方法的领悟为核心.由于数学思想方法相比于数学内容而言更加隐蔽，学生对数学思想的领悟难以一步到位，而是一个潜移默化的过程，因此，教师在设计其活动时可以按照“潜移——外化——内化”的暗线来进行.首先，教师在指导学生分析问题时可以给学生提供适当的思维层面的引导，启发学生对数学思想方法的意会，促进问题分析的进程.其次，在得出数学概念、性质、定理等知识后，教师可以向学生明确提出这一数学思想方法，使学生对数学思想方法形成清晰的认识.最后，通过深入理解和应用将外化的数学思想方法内化，从而实现用数学思想方法统领数学内容，深化对数学知识的双重认识.例如，正弦定理的教学中在学生已经得出直角三角形中的正弦定理后，教师可以提问学生一般的三角形是否存在这个关系.这时教师可以启发学生由于直角三角形的情形已经解决，那么解一般的三角形问题能否转化成解直角三角形的问题.在学生通过做高法得到一般的三角形的正弦定理之后，教师可以向学生揭示这个过程所用到的思想方法(从特殊到一般、化归思想)及其涵义.最后，通过反思小结等活动强化学生对数学思想方法的体悟，将数学思想方法内化.

从学生层面考虑，学生的活动不能仅停留在如何做的层面，更要关注活动背后的数学思想方法，在解决具体问题的活动中掌握数学的一般方法，从而达到举一反三、触类旁通，形成对数学知识的本质认识.因此，学生活动的暗线可以是“具体数学活动——数学的一般思想方法——认清本质正向迁移”，以此将学生的活动也上升到思维层面，让学生在活动中既获得数学知识又提升数学思想.

4 优化“明线”和“暗线”提高数学教学的有效性

数学教学实践已告诉我们，数学教学无论采用何种运行方式，都要以学生能有效理解知识领悟思想为目的，以教师是否真正“理解数学”为首要基础.教师不能满足于对教材中概念定理的掌握和应用，而要站在数学思维的高度深入挖掘知识发生发展过程和所蕴含的数学思想，站在学生的角度思考如何将数学知识加以重组和再创造，以条理清晰富有“灵魂”的方式呈现给学生，这也是“教学有法、教无定法、贵在得法”的内涵.数学学科的特点决定数学教学的特点，数学教学“法”存在于数学知识或数学学科之中，关键在于数学教师能否“获得”.

由于教学一方面要遵循数学知识发生发展的逻辑和学生心理逻辑的自然规律，因此数学教学要优化“明线”，基于数学的本质设计教学，以整体带动部分，由过程到结果，帮助学生将静态的数学知识转化为学生头脑中有意义的数学认知结构，使学生真正做到理解知识；另一方面，数学教学除了要关注教学的逻辑性外，还要关注知识的思想性，让学生建构知识的同时领悟数学思想方法，因此数学教学还应优化“暗线”，用一般性的数学思想统领知识促进学生的迁移学习，提升学生的思想境界，让学生学会“用数学的眼光看待世界，用数学的思维思考世界”，并逐步形成数学核心素养.总而言之，数学教学需要谋篇布局，需要精心构思教学的“明线”和“暗线”，需要“突出数学主线，凸显数学的内在逻辑和思想方法”[5]，并以此为基础优化师生的教学活动，提高数学教学的有效性.