关于圆锥曲线中的中点弦的一点遐想

潘贵强

在教学中我发现圆锥曲线中的中点弦所在直线的方程与过圆锥曲线上一点的切线方程有紧密的关系;现将探究与发现的结果展示如下，请各位专家及同仁批评指正。

设点       ，       是曲线C：

的任意两点，       是P1P2的中点。求过曲线C上一点的切线方程。

1. 若曲线C为圆其方程：         （或                 ）

由               两式相减可得

，当       时

变形为                     ，因为          ，

所以        ，由点斜式可得直线P1P2的方程为：

整理为：                 ……①;方程①为过P1P2的中点P的弦所在直线方程（即中点弦直线方程）。

当中点P在圆上时，此时P1，P2，P三点重合说明，而此时直线P1P2也成为了圆的切线且过点P，于是             ，故由方程①可得过点P的切线方程为：

2. 若曲线C为椭圆其方程：

由              两式相减可得

，当      时

变形为

因为          ，             ，所以

由点斜式可得直线P1P2的方程为：

整理为：                 ……②;方程②为过P1P2的中点P的弦所在直线方程（即中点弦直线方程）。

当中点P在椭圆上时，此时P1，P2，P三点重合说明，而此时直线P1P2也成为了椭圆的切线且过点P，于是           ，故由方程②

可得过点P的切线方程为：

若曲线C为椭圆其方程：                 时，同理可得过点P的切线方程为：

3.若曲线C为双曲线其方程：

由                  两式相减可得

，当      时

变形为：

因为          ，             ，所以

由点斜式可得直线P1P2的方程为：

整理为：                 ……③;方程③为过P1P2的中点P的弦所在直线方程（即中点弦直线方程）。

当中点P在双曲线上时，此时P1，P2，P三点重合说明，而此时直线P1P2也成为了双曲线的切线且过点P，于是          故由方程③可得过点P的切线方程为：

若曲线C为双曲线其方程：          时，同理可得过点P的切线方程为：

综上所述可知过曲线：                           上一点        的       切线方程为：

对于抛物线也满足

4.若曲线C为抛物线其方程：

由                  两式相减可得

，当      时，变形为：

因为          ，             ，所以

由點斜式可得直线P1P2的方程为：

整理为：                 ……④;方程④为过P1P2的中点P的弦所在直线方程（即中点弦直线方程）。

当中点P在抛线上时，此时P1，P2，P三点重合说明，而此时直线P1P2也成为了抛线的切线且过点P，于是           故由方程④可得过点P的切线方程为：

若曲线C为双曲线其方程：            时，同理可得过点P的切线方程为：

以下给予证明

求证：过曲线：                           上一点        的切线方程为：

【分析】要证明直线            是曲线

的切线，即要证明直线与曲线只有一个公共点       ，即将直线方程与曲线方程联立，方程组只有一组解;即消去    得到一个关于

的一元二次方程，即证明一元二次方程只有一解，只需证明       要满足即可。

证明：由               消去  可得，，又由

可得                   ，易知     且方程的解为：

易知当切点        为曲线与坐标轴的交点时仍然成立。

故由此可知命题是成立的。