从小阶群与环的同构分类入手 培养学生的抽象代数思维能力

甘爱萍，杨义川

摘要：文章尝试用初等方法对小阶群（阶数小于等于11的群）与小阶环（阶数小于等于3的环）进行同构分类，通过增加具体实例，拉近学习者与抽象代数的距离，进而在潜移默化的熏陶中提高学生的抽象代数思维能力。

关键词：小阶群;小阶环;循环群;交换环

中图分类号：G642.0     文献标志码：A     文章编号：1674-9324（2020）01-0292-03

一、引言

近世代数也称抽象代数，其研究各种抽象的公理化代数系统，国内大学是否开设该课程在某种程度上是该大学数学人才培养层次的标志性课程之一。其高度抽象性使得它具有广泛的应用性，同时它还是当代大部分数学的通用语言，是现代计算机理论与信息论基础课程之一，但正如文献中所指出的，一部分学生对于线性代数和抽象代数的学习效果不理想不是因为自身原因，因此应当从教材内容和教学方法中找原因。

抽象代数中最基本的群与环的概念和理论离不开一些具体的群与环，其中尤其是小阶群与小阶环。现有的近世代数本科教材普遍对小阶群或小阶环的同构分类没有做系统的介绍，本文将尝试用初等方法对小阶群（阶数小于等于11的群）与小阶环（阶数小于等于3的环）进行同构分类，通过增加具体实例，拉近学习者与抽象代数的距离，进而在潜移默化地熏陶中提高学生的抽象代数思维能力。

二、小阶群

群是近世代数中最基本的一个概念，有限群作为群的重要组成部分，其结构与性质广泛应用于许多相关学科，但由于其高度抽象性，在解决问题时往往需要先对小阶群进行研究，由此可推导出许多抽象群或高阶群。本节我们将应用拉格朗日定理，对所有阶数小于等于11的群进行同构分类。如无特别申明，本节我们总假设e为群G的幺元。

定理1：（拉格朗日定理）设G是一个有限群，H是G的子群，则G=H[G：H]。

由于1阶群是平凡的，下面我们先对素数阶群进行同构分类。

定理2：素数阶群一定是循环群，且以每一个非单位元作为它的生成元。

证：设G为p阶群，这里p为素数，则对G中任一非单位元a，由拉格朗日定理知a的阶为p，从而G为由a所生成的循环群。

根据定理2，我们从同构的观点来看2、3、5、7、11阶群都各有一个，它们都是循环群。下面定理讨论了4阶群的同构分类问题。

定理3：從同构的观点来看，4阶群只有两种：4阶循环群和克莱因4阶群K。

证：设G是4阶群且G=e，a，b，c，若G中含有4阶元，则G为4阶循环群，若G中不含有4阶元，则由拉格朗日定理知G满足条件：（？坌x∈G）x■2=e，从而G的（部分）乘法表为：

■

根据群中的运算满足消去律知其乘法表中每一行每一列都是G中元素的一个置换，从而G的乘法表为：

■

故G与克莱因4阶群K同构。

由于循环群和克莱因4阶群K都是交换群，而1阶群显然是交换群，故我们得到所有阶数小于等于5的群都是交换群。自然地，教师在授课时可以引导学生考虑非交换群的最小阶数，有没有6阶的非交换群？如果有，有多少个？等等问题。对这些问题，下面定理给出了回答。

定理4：从同构的观点来看，6阶群只有两种：6阶循环群和三次对称群S■。

证：设G是6阶群。若G中含有6阶元，则G为6阶循环群。不妨设G中不含6阶元，则G的生成集中至少含2个元素。设a、b是G的同一个生成集M中的两个不同的元素，由拉格朗日定理知a、b的阶为2或3。

由于三次对称群S■是非交换群，通过定理4可以看出：非交换群的最小阶数是6，且从同构的观点来看，三次对称群S■是唯一的阶数最小的非交换群。接下来，我们还需讨论8、9、10阶群的同构分类问题。8、9、10阶群的同构分类问题相对来说要复杂一些，但复杂一些的推导是培养学生逻辑推理能力和抽象思维能力的好材料。

定理5：从同构的观点来看，8阶群只有五种：8阶循环群、二面体群D■、四元数群Q■={1，i，j，k，-1，-i，-j，-k}、置换群G■={（1），（1234），（13）（24），（1423），（56），（1234）（56），（13）（24）（56），（1423）（56）}和置换群G■={（1），（12），（34），（56），（12）（34），（12）（56），（34）（56），（12）（34）（56）}。

证：设G是8阶群。若G中含有8阶元，则G为8阶循环群。不妨设G中不含8阶元，则G的生成集中至少含2个元素。设a、b是G的同一个生成集M中的两个不同的元素，由拉格朗日定理知a、b的阶为4或2。

定理5告诉我们，8阶群中有两个非交换群：D■与Q■，由于8=2■，教师在授课时可以引导学生思考27阶群的同构分类问题。

定理6：从同构的观点来看，9阶群只有两种：9阶循环群和置换群。

G■={（1），（123），（132），（456），（465），（123）（456），（123）（465），（132）（456），（132）（465）}.

证：设G是9阶群。若G中含有9阶元，则G为9阶循环群。不妨设G中不含9阶元，则G的生成集中至少含2个元素。设a、b是G的同一个生成集M中的两个不同的元素，由拉格朗日定理知a、b的阶均为3。已知e、a、a■、b、b■、ab、ab■、a■b、a■b■为G中9个互不相同的元素，从而G=e，a，a■，b，b■，ab，ab■，a■b，a■b■。

下证：ba=ab。事实上，由群中的运算满足消去律得ba∈G＼e，a，a■，b，b■，如果ba=a■b，则aba=a■b=b，从而（ab）■=aba·b=b■。根据定理1以及G中不含9阶元有ord（ab）=3，从而b■=（ab）■=（ab）■=b■a■=b■a■，即得a■=e，矛盾。

如果ba=ab■，则bab=ab■=a，从而（ab）■=a·bab=a■。根据定理1以及G中不含9阶元有ord（ab）=3，从而a■=（ab）■=（ab）■=b■a■=b■a■，即得b■=e，矛盾。

如果ba=a■b■，则bab=a■b■=a■，从而（ab）■=a·bab=a■=e，与定理1矛盾。

综上我们有ba=ab。令ψ：e|→ （1），a|→ （123），a■|→ （132），b|→ （456），b■|→ （465），ab|→ （123）（456），a■b|→ （132）（456），ab■|→ （123）（465），a■b■|→ （132）（465），显然ψ是群G到置换群G■的一个同构映射，故G？艿G■。

由于循环群和G■都是交换群，由定理6我们得到：9阶群只有两种且都是交换群，由于4阶群也只有两种且也都是交换群，据此，教师在授课时可以让学生思考p■（p是素数）阶群的同构分类问题以及交换性问题，即思考如下问题：设p是素数，p■阶群是否仅有两种且都是交换群。

定理7：从同构的观点来看，10阶群只有两种：10阶循环群和二面体群D2×5。

证：设G是10阶群。若G中含有10阶元，则G为10阶循环群。不妨设G中不含10阶元，则G的生成集中至少含2个元素。设a、b是G的同一个生成集M中的两个不同的元素，由拉格朗日定理知a、b的阶为5或2。

综合上面的定理，由于1阶群是平凡的，我们已对所有阶数小于等于11的群进行了同构分类，其中1、2、3、5、7、11阶群都各有1个，4、6、9、10阶群各有2个，8阶群有5个。在所有阶数小于等于11的群中，非交换群仅有4个：6阶群S■、8阶群D■、四元数群Q■以及10阶群

D■。在此基础上，教师在课堂授课时可以引导学生思考如何对阶数为12、14或15的群进行同构分类，并思考p、q阶群的同构分类问题，这里p、q为互不相同的素数。

三、小阶环

众所周知，一个（2，2，0）型代数（S，+，·，0）称为一个环，如果（S，+，0）是一个交换群，其幺元为0;（S，·）是一个半群，且乘法“·”对加法“+”满足左右分配律。环中的加法幺元称为环的零元，环中元素a的加法逆元称为a的负元，记为-a。注意到环S满足性质：（？坌x∈S）0·x=x·0=0。设（T，+，0）是一个交换群，定义T上的乘法运算为：？坌x，y∈Tx·y=0，容易验证（T，+，·，0）是一个环，称之为零环。

本节我们将对阶数小于等于3的环进行同构分类，教师在授课时可以引导学生在找出小阶群的基础上找出一些小阶环。下面我们先介绍如何构造2阶环。

设S为2阶环，注意到环中一定含零元0，可设S=0，a，由于环对加法运算构成一个2阶交换群，所以S的加法表与（部分）乘法表如下：

■？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇■

注意到a·a∈S=0，a，S的乘法表只能是

■？摇？摇？摇？摇或？摇？摇？摇？摇？摇■

由于（S，+，·■，0）是零环，又显然（S，+，·■，0）与模2的剩余类环Z■同构，故2阶环只有两个：（S，+，·■，0）与模2的剩余类环Z■。

3阶环比2阶环要复杂一些，下面我们介绍如何构成所有的3阶环。设R为3阶环，注意到环中一定含零元0，且环对加法运算构成一个交换群，而3阶群只有一个，即3阶循环群，我们可设R=0，b，2b，可知R的加法表与（部分）乘法表如下：

■？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇■

注意到环R满足性质：（？坌m∈Z）（？坌x，y∈R）（mx）y=m（xy）=x（my），这里Z为整数集，如果b·b的值确定了，那么R的乘法表也就确定了。由于b·b∈R，所以R的乘法表只可能是：

■？摇？摇或？摇？摇■？摇？摇或？摇■

由于（R，+，·■，0）是一个环，又易证（R，+，·■，0）及（R，+，·■，0）都与模3的剩余类环Z■同构，故3阶环只有两个：（R，+，·■，0）与模3的剩余类环Z■。

至此，我们已对2阶环进行了同构分类，由于1阶环是平凡的，所以阶数小于等于3的环我们都掌握了，并且從中可以发现这样一个事实：所有阶数小于等于3的环都是交换环。自然地，教师在授课时可以引导学生思考如下问题：找出所有4阶环或5阶环，4阶环或5阶环中有无非交换环，非交换环的最小阶是几，等等一系列的问题。关于4阶环的同构分类可以参考文献。

四、结语

提出问题是思维的出发点。在教学中，只有不断地向学生提出新的问题，才能引导他们去思考问题。本文通过对小阶群（阶数小于等于11的群）和小阶环（阶数小于等于3的环）进行同构分类，有计划地提出问题、分析问题、解决问题来帮助学生理解和掌握抽象的概念和结论，提高高校本科学生对近世代数课程的学习兴趣，使学生掌握基本的代数方法，拉近他们与抽象代数的距离。同时，还可以培养学生的逻辑思维和抽象思维能力以及他们的自主学习与发现问题的能力，为以后的学习、工作打下扎实的基础。

参考文献：

[1]张肇炽.线性代数：从课程到教学的一些实践与思考[C].大学数学课程报告论坛论文集，2005：126-131.

[2]王孝敏.几类小阶群的新刻画[D].重庆：西南大学硕士学位论文，2016.

Train the Abstract Thinking Ability of Students from the Classification of Groups or Rings of Small Order

GAN Ai-ping1，YANG Yi-chuan2

（1.College of Mathematics & Information Science，Jiangxi Normal University，Nanchang，Jiangxi 330022，China;2.College of Mathematics and Systems Science，Beihang University，Beijing 100191，China）

Abstract：In this paper，we use elementary method to classify up to isomorphism all groups whose cardinality are less than or equal to 11，and all rings whose cardinality are less than or equal to 3.From which，one can learn more concrete examples of groups or rings，and so it is helpful to shorten the distance between college students and abstract algebra，and to improve the abstract thinking ability of students unconsciously.

Key words：groups of small order;rings of small order;cyclic group;commutative rings