土木工程专业研究生有限单元法课程教学改革初探

江巍，刘章军，吴勃

摘要：针对当前土木工程专业研究生有限单元法课程教学中存在的问题，文章从教学内容、教学方法、教学手段等方面进行探索。在强化有限元基本理论和程序基本框架教学的基础上，优化整合教学内容以满足学生的多样化需求，按“理论讲解—程序设计—案例分析”的环节组织各类单元形式的教学，综合运用多种教学手段以激发学生的参与感和学习兴趣。上述措施可有效改善土木工程专业研究生有限单元法课程的教学效果，培养研究生的实践和创新能力。

关键词：土木工程专业;有限单元法;教学改革;研究生教育

中图分类号：G643     文献标志码：A     文章编号：1674-9324（2020）01-0170-04

一、引言

作为最具代表性的数值模拟方法之一，有限单元法以其强大的适应性和通用性在多个学科得到应用，其计算精度和计算效率可靠，以其为理论基础的大型商业软件（如ABAQUS、ANSYS、ADINA等）为广大工程技术人员所接受。随着国家工程建设的飞速发展，有限单元法已经成为土木工程领域分析复杂工程问题的重要工具，运用有限单元法解决实际工程技术问题和进行科学研究已经成为土木工程专业研究生必备的基本能力之一[1]。因此，有限单元法相关课程在土木工程专业研究生课程体系中不可或缺，以笔者所在高校为例，“有限单元法及程序设计”为土木工程学术学位硕士研究生的学科基础课，同时为建筑与土木工程专业学位硕士研究生的专业基础课。

有限单元法及其程序设计的理论基础涉及了数学、力学、计算机科学等多个学科分支，其实践运用对象囊括了建筑、交通、岩土、地质灾害等各类具体问题。该课程的学习可进一步锤炼研究生的数学力学功底，同时培养研究生针对具体工程问题进行模型提炼和分析研究的能力。然而，当前土木工程专业研究生有限单元法课程的教学效果不甚理想[2，3]。本文结合笔者所在高校开展的土木工程专业研究生有限单元法课程教学改革实践工作，对如何优化有限单元法课程的教学内容和如何变革教学方法进行探讨，以期促进教学水平和学习效果的提升。

二、土木工程专业研究生有限单元法课程教学过程中存在的几个问题

1.预备知识不足导致教师实施教学困难。有限单元法的理论学习与实践应用需要多学科预备知识的前期积累和熟练运用，然而在课程教学中发现，相当比例研究生的预备知识与有限单元法学习的要求不能匹配，其原因是多方面的。首先，课程体系中预修课程设置不合理。一般来说，数值分析、弹塑性力学、编程语言等为学习有限单元法的基本预备知识，如果学生缺乏相关知识储备，则会造成学习困难，然而土木工程专业研究生的课程体系中数学、力学类课程要求相对较低，以笔者所在高校为例，土木工程专业研究生培养方案中“数理统计”和“数值分析”均为学位课，学生只需选择其中一门课程学习即可。其次，学生对预备知识的运用熟练程度不足。有限单元法学习所需的部分预备知识可追溯至本科开始阶段，如“编程语言”，其在土木工程本科阶段后续课程学习和实践实习中使用频率不高，大部分学生对相关内容早已生疏。

2.不断缩减的课程教学学时与不断丰富的教学内容之间的矛盾。随着高校教育改革的持续推进，专业课课程教学学时压缩已经成为一种普遍现象[4]，有限单元法课程的教学学时也未能例外，笔者所在高校由以前的64学时压缩至48学时。虽然有限单元法的经典理论部分已经形成了比较完善的体系，但随着基础理论研究的不断进步和工程应用对象的日益丰富，一些新的有限元技术如广义协调元、扩展有限元、比例边界有限元等已经形成且在实际应用中得到推广[5]，有限元解决的工程问题也愈加复杂，如多场耦合问题、断裂接触分析、结构动力响应等[6]。在课程教学学时不断压缩的条件下如何有效融入有限单元法的最新理论进展，引导研究生追踪科学研究前沿，是值得深入思考的问题。

3.研究生学习需求的多样化。土木工程专业研究生对于有限单元法课程的学习需求，主要取决于研究生的研究方向和学习目的。高校土木工程专业研究方向的分布与其自身特色和优势学科密切相关，以笔者所在高校为例，其涉及了房屋建筑、道路桥梁、岩土工程、地质灾害防治等多个类别的方向。一般而言，房建、道桥等研究方向的研究生对基于结构力学的有限元更感兴趣，而岩土、地灾等研究方向的学生则觉得基于弹性力学的有限元更为实用，基于不同力学的有限元其对应的主流商业软件也不一样。根据近年来该课程教学反馈情况，研究生的学习目的存在三个层次的区别。第一个层次为希望可以更好地使用商业有限元软件并对计算结果给予正确的分析，这类学生希望可以获得更多商业软件应用方面的知识。第二个层次为希望实现创新性成果（如通过实验建立的新的本构关系等）的有限元程序实现或在商业软件基础上进行二次开发，这类学生希望对程序设计方面进行更多的实际操作练习。第三个层次为希望由有限元方法起步熟悉计算力学，为进行数值计算方法研究或攻读博士学位奠定基础，这类学生则希望教师加强对相关数学力学基础的补充，并对相关公式细节进行仔细的讲解。研究生学习需求的多样化，导致教师在组织教学材料上很难同时满足所有需求。

4.程序设计教学环节薄弱。有限单元法的程序设计教学是该门课程教学不可割裂的部分，通过编程练习可让研究生加深对有限元理论公式的理解，建立起有限元从理论到具体应用的理性认识。然而，目前有限单元法课程在程序设计教学环节做得不甚理想。（1）程序设计教学受到多方面教学条件的制约，如教学学时不足、学生机房资源不足、有限元教学程序缺乏通用权威等。（2）通常某个专题的程序设计教学在理论知识教学完全结束之后才正式进行，两者之间的衔接不到位导致学生难以将代码和理论之间对应联系。（3）程序代码的编写和调试乏味无趣，学生易产生畏难情绪。（4）目前有限元课程结业很少考查学生程序设计的水平能力，导致学生重视程度不够。如何加强程序設计教学环节的教学质量，仍然需要进一步探索。

三、有限单元法课程教学内容的优化

有限元方法课程系统讲解了有限单元法的基本原理、程序设计和如何应用有限元去解决实际问题，其内容囊括了有限元方法的数学力学基础、程序设计的一般框架和基本技巧、各类单元的特性、方程推导和程序实现、不同工程问题的有限元方法解决、常见商业软件的应用等。在课程教学学时压缩的背景下，有限单元法课程教学内容的优化势在必行。

1.举纲张目，强化对基本原理和程序基本框架的教学。与力学类专业研究生相比，土木工程专业研究生的数学、力学基础总体相对薄弱，因此其有限元方法课程教学通常从学生比较熟悉的具体工程问题出发，介绍不同类型单元的特性及其应用，对有限元方法基本原理的教学重视程度不够。学生对有限单元法的本质缺乏了解，导致在学习过程中只见树木不见森林，往往陷入各种有限单元的细节公式推导，感觉没有原则可以遵循，浪费大量时间的同时教学效果不佳。研究生阶段的课程，必须从微分方程求解的角度出发引入有限单元法，理解有限元方法是如何离散被研究对象的，在此基础上引导学生建立整体与局部的概念，明确单元位移模式构造的一般准则。学生掌握好有限单元法的基本原理，各种具体的有限元单元则是实现的特例而已，教师可以更多地启发学生关注这些单元的使用目的和局限等。虽然有限元单元形式多样，但其程序框架是基本一致的，因此进行第一种具体有限元单元的程序教学后，强化学生对有限元程序的基本框架和功能模块的认识是非常重要的。学生清楚认识有限元程序的基本框架，当需要修改程序实现特定功能时，可迅速定位到对应的功能模块，对于后续其他类型单元程序的阅读、编写、调试大有裨益。强化这些纲领性知识的教学是事半功倍的，一方面学生对有限元方法本质和思想的掌握水平得到提升，另一方面教师在后续具体有限元单元的教学中可紧扣主干，从细枝末节中解脱出来，从而节省教学时间。

2.内容整合，补充拓展内容满足多样化的学生需求。在强化有限元纲领性知识教学的基础上，根据土木工程专业研究生的知识结构和有限单元法课程的内容体系，对教学材料进行充分整合，进行核心内容和拓展内容的区分。教师在课堂上集中进行课程核心内容的讲解，指导学生在课外自学相应的拓展内容。经过整合，土木工程专业研究生有限元课程包含了四大模块：（1）数学力学基础。（2）基于弹性力学的有限元。（3）基于结构力学的有限元。（4）复杂工程案例的商业软件分析。大量预备知识如大型稀疏矩阵的求解方法、拉格朗日插值、高斯积分的数学来源等内容被放入专门建设的拓展内容库中，这些知识严格来说不属于有限元课程的教学内容，让学生理解这些都只是有限元方法在进行实现时使用到的数学工具，更有利于学生把握有限元方法的主线。拓展内容库中对于预备知识的编排，一般根据教学内容的先后顺序进行，起到配合核心内容教学的作用。更为重要的是，要在拓展内容库中分门别类地补充大量的经典文献、名家综述和前沿研究动态，以笔者所在高校为例，拓展内容库中建设有“常用的其他数值计算方法”“重心坐标的概念和使用”“超参元和次参元”“广义协调有限元”等多个不同的专题。学生根据自身需求和兴趣了解这些知识，可加深对于有限元方法本质的理解，同时可以感受到有限元方法的蓬勃生机。

四、有限单元法课程教学方式的变革

长期以来，有限单元法课程的教学多采用传统的“灌输式”教学方法，其理论内容与实用软件之间的内在联系不明确，程序代码的阅读、编写和调试枯燥无味，导致研究生学习兴趣不足。为此，针对不同的教学内容，根据其教学目的采用不同的教学方法是很有必要的。总体上，为培养研究生的创新能力，在各种具体的有限元单元教学过程中，以“理论讲解—程序设计—案例分析”的教学环节组织教学，在各个教学环节采用启发式、任务式、设计式、研究式、探索案例式等多种教学方法相结合。

1.理论讲解，启发式和任务式教学方法相结合。理论讲解部分多运用启发式、任务式的教学方法，提高研究生对有限元理论知识与实际问题联系的认识，推动研究生尝试理论创新。有限元方法其理论部分涉及大量的细节，如单元位移模式的设计、形状函数的构造和推导、刚度矩阵的组装等，学生在学习时容易淹没在繁杂的细节推导中，顾此失彼。学生在掌握有限元方法的基本理论并通过平面三角形三结点单元的学习之后，对有限元方法的常见术语和方程建立一般过程已有一定的了解，那么教师在进行后续其他类型有限元单元的教学时，可以通过“为什么需要这种单元”“现有的结点数目条件下怎么去表达单元位移”等问题启发学生思考各类单元的使用目的和位移模式表达。在完成位移模式构建后，采用任务式教学方式指导学生自主完成“方程推导→刚度矩阵计算和集成→各类边界条件处理”的过程，强化学生的理论认知，然后通过“这种单元的计算精度如何”“是否完备协调”“使用是否受限制”等问题启发学生总结各类单元的局限，介绍国内外的最新研究成果对这些局限的改进。

2.程序设计，采用设计式、研究式教学方法，与理论讲解并行推进。程序设计是本课程的主要内容之一，对研究生创新能力的培养有着重要作用[7]，但经过教学内容的优化，程序设计不再作为单独的教学模块。教师通过平面三角形三结点单元有限元程序的示范，让学生了解有限元程序的基本流程，引导学生总结好有限元程序的基本框架和功能模块。在后续其他类型有限元单元的学习中，程序设计教学与理论讲解并行推进，教师以辅助性教学程序为基础布置简单的设计性任务，如将总体刚度矩阵存储方式由“上三角”改为“下三角”，将“平面应力单元”改为“平面应变单元”，将高斯积分点由“四个”改为“九个”等，学生在学习理论的同时根据自己的理解完成这些任务，程序设计与理论知识之间的衔接得以加强。另外，鼓励研究生结合自己的研究方向在辅助性教学程序引入新的本构关系、荷载效应和边界条件，使这些程序可以直接为研究生的课题研究所用，调动学生学习程序设计的兴趣，且有助于培养研究生基于有限元程序进行创新研究的能力。

3.案例分析。在案例分析环节，教师带领研究生使用教学程序解决简单的数值算例，让研究生对有限元方法的运用建立更深的理性认识，使研究生了解教学程序与大型商业软件之间的内在联系与区别。通过具体案例的示范，使研究生清楚“节点和单元编号”“应力磨平”等有限元前后处理工作的内容并认识到其重要性，对“平面问题和空间问题求解时位移边界条件的数量”“有限元网格的布置原则”等知识点有进一步的直观认识。采用简单数值算例进行示范时，教师可引导研究生思考总结如何将实际工程问题抽象为有限元计算模型，如何解释和评价有限元计算结果等，為后续运用大型商业软件解决复杂工程问题奠定初步的基础。

五、多种手段并用，激发研究生学习的兴趣和参与感

任何一门课程的教学工作，学生学习的主动积极性都是影响其教学效果的关键因素之一。土木工程专业研究生在学习有限单元法时，容易因为数学力学基础相对薄弱而在理论学习时对部分知识点消化困难，以教师为中心的课堂讲授式教学过程中学生参与感不强导致学习热情降低。在有限元课程教学中如果不注意解决好这些问题，教学效果必然难以达到预期。

1.采取不同策略处理理论教学中的知识难点。土木工程专业研究生的有限元课程教学，在课程讲授过程中尽量考虑学生的预备知识掌握水平，不能因为知识难点的存在而导致学生产生畏难情绪，因此对于知识难点需要采取不同的策略。理论教学的核心在于引导学生把握有限元方法的整体结构，在不影响这一核心的前提下对于部分知识难点可以适当避开，例如有限元方程的建立，在实际授课中引导学生从Galerkin加权余量法和力学虚位移原理出发进行推导即可，对于涉及泛函变分等知识的Ritz变分法则作为拓展知识供学生自主学习。对于无法避开的难点内容，应让学生清楚地掌握其概念内涵和公式建立的过程，如等参单元整体坐标导数积分运算向局部坐标的转换等，可由教师采取黑板板書引导学生一起进行，学生会发现使用高等数学多元函数的求导法即可完成这一过程，可建立起学生的学习信心。

2.让学生成为教学资源构建的主体。让学生成为课程的积极参与者，对学生学习的主动积极性可产生巨大的提升作用。在有限元课程教学的教学内容整合过程中，课程的核心内容由主讲教师制订，拓展内容库的建设充分强调研究生的参与。拓展内容库中的预备知识部分根据研究生对课堂教学的反馈情况不断地完善拓展，鼓励研究生将自己收集到的科研文献进行评述后上传至拓展内容库。在程序设计教学中，鼓励研究生将自己基于辅助性教学程序进行的创新性研究成果进行课堂展示，激发学生的学习兴趣。研究生参与教学资源构建的更重要方面在于丰富课程的实际工程案例。以前，笔者所承担的有限元课程“复杂工程案例的商业软件分析”教学模块案例库仅涉及了库岸边坡、地下洞室、结构抗震等问题，介绍的商业软件数量也偏少，远不能适应现有土木工程专业研究生的研究方向数量。通过让研究生以优秀工程案例投稿、软件使用经验分享、软件二次开发技巧展示等形式参与案例库的建设，工程案例库的建设水平得到了显著的提升。教师选择优秀工程案例让学生在课堂上讲自己分析问题解决问题的过程，组织学生进行讨论和总结，促进不同研究方向的学生交流，学生在获得参与感的同时可以更多地了解土木工程专业有限元商业软件的全貌。

3.变革考核方式。有限单元法是一门理论与实践并重的课程，单纯地依赖闭卷考试来评价研究生对课程的掌握程度是不合理的。目前笔者所在高校土木工程专业研究生有限元课程期末考试为开卷考试，考试成绩占最后总成绩的60%。为更好地调动研究生的积极性和参与意识，促进研究生进行创新性学习，将研究生参与教学资源构建、对辅助性教学程序进行创新的情况等纳入考核标准，占最后总成绩的20%。其余20%涵盖了研究生完成公式推演、程序设计等课程任务的表现情况。通过考核方式的变革，学生参与有限元课程的主动积极性明显提升，营造了良好的学习氛围。

六、结语

长期以来，有限单元法的课程教学在教学内容、教学方法上未能充分考虑土木工程专业学生的知识背景和实际需求，从而导致土木工程专业研究生的学习效果难以达到预期，针对该问题本文总结了笔者所在高校的土木工程专业研究生有限单元法课程教学改革实践工作取得的经验：有限单元法课程应强化基本理论和程序基本框架的教学，并对教学内容紧扣主线进行优化;各类有限元单元的教学按“理论讲解—程序设计—案例分析”的环节组织教学并多种教学方法相结合;教学过程中应采用适当处理理论难点、鼓励学生参与资源构建、形成综合全面的考核方式等多种手段树立学生的学习信心和参与意识。这些措施有利于激发研究生的学习热情，加深研究生对有限元方法的一般本质的理解，提升研究生有限元程序的编制水平，有利于学生实践能力和创新能力的培养，满足多样化的学生需求。

参考文献：

[1]王勖成，邵敏.有限单元法基本原理和数值方法[M].北京：清华大学出版社，1997.

[2]苗雨，郑俊杰.土木工程专业有限元课程的教学改革探讨[C].第四届全国土力学教学研讨会，中国土木工程学会，2014：77-79.

[3]张大英.面向软件应用的有限元课程教学改革与探讨[J].高等建筑教育，2014，23（5）：91-94.

[4]于玉真，李伟亮，李励，王飞.《弹性力学与有限元分析》课程教学改革研究[J].教育教学论坛，2017，（45）：102-103.

[5]白冰，蒋青青，唐礼忠.工科专业“有限单元法及程序设计”课程改革新思路[J].理工高教研究，2009，（05）：136-140.

[6]吉逸，陈国庆，曹玖新.研究生创新型学习的教学研究与实践[J].计算机工程与科学，2011，33（A1）：5-8.

[7]李世彬，苏继红.在研究生教育中培养创新精神的基本途径[J].黑龙江高教研究，2006，（11）：68-69.

Research on Teaching Reform of Finite Element Method for the Postgraduate Majoring in Civil Engineering

JIANG Wei，LIU Zhang-jun，WU Bo

（China Three Gorges University，Yichang，Hubei 443002，China）

Abstract：To address some issues in the teaching of Finite Element Method for the postgraduate majoring in civil engineering，some measures have been proposed to reform the teaching contents，methods and approaches.The principle theory of Finite Element Method and the fundamental framework of Finite Element program is emphasized，and the teaching contents are integrated to satisfy the diverse requirement.The "theory instruction - program designing-examples analysis" procedure is adopted in the teaching of different kinds of finite element.Variety of teaching approaches are introduced to trigger off students' interesting and desire to participate.Those measures are verified to be beneficial to the teaching efficiency of Finite Element Method course，and is useful in cultivate the practical ability and creativity of postgraduate.

Key words：civil engineering;finite element method;teaching reform;graduate education