“高观点”视角下的初中数学教学

孙晓芳

“高观点”视角是指，用经典的高等数学与现代数学知识、思想与方法研究初等数学的一种方法策略。“高观点”视角下的初中数学教学是以高等数学知识为研究工具，以初中数学教学内容为研究对象，通过寻找与挖掘初中数学内容与高等数学知识之间的异同点，帮助学生更深层次地理解数学概念、剖析数学问题、掌握数学方法。数学教学不是简单的、机械的知识传授，而是帮助学生完成知识体系的构建。因此，“高观点”视角下的初中数学教学更加致力于深入挖掘数学知识的本质，让学生感受与体验数学知识的形成，从而让学生明晰数学知识产生的前因后果，把握知识脉络，最终实现对学生数学核心素养的培养。

一、“高观点”在概念教学中的应用

数学概念是学生进行数学运算、逻辑推理和解决问题的重要依据，也是数学教学中的重难点。数学概念具有极强的抽象性和逻辑性，需要教师充分调动学生的已有认知结构和经验，促使其思维从具体化向形象化过渡，才能顺利地完成对数学概念的构建。然而，在初中数学教材中，有些数学概念如果不用“高观点”的知识背景进行阐释，会让学生产生一种模棱两可的印象，甚至会疑问重重。因此，在初中数学概念教学中，应用“高观点”突破概念难点，往往能起到事半功倍的效果。

例如，在进行“方程”的概念教学时，现阶段大部分数学教材中给出的定义是“含有未知数的等式叫作方程”。这种定义形式虽然严谨性不强，但更易于初中生理解与认同。首先，学生要了解这个概念，首先需要弄清“等式”的概念。

师：是否所有含未知数的等式都叫作方程呢？

生1：不一定，比如：a+b=b+a、x2-y2=（x+y）（x-y）。（学生知其然而不知其所以然）

师：是呀，那么究竟什么样的等式才可以叫作方程呢。下面我们一起来看看有关等式的定义。（引入高等数学中有关等式的概念）

定义1：“看下面的例子：4+x=7，s=ab， 1+2=3，像这样表示相等关系的式子就是等式。”

定义2：“用符号将两个解析式连接起来，所得的式子如果分别用两个解析式或数 f（x，y，，z），g（x，y，，z）表示，则f（x，y，，z）=g（x，y，，z）就是一个等式。”

师：根据定义1和定义2，我们不难看出，等式可以分为条件等式、恒等式及矛盾等式三种类型，比如，像刚才同学们提到的x2-y2=（x+y）（x-y）， a+b=b+a都属于恒等式，而像为矛盾等式， 5x-3=9为条件等式。可见，定义1中只包含了恒等式与条件等式，定义2中包括了这三种类型。

对于学生而言，定义1仅具有形式的外壳，学生无法真正地弄清楚方程的思想，但是对于定义2，学生虽然能够认为4+x=7是等式，但是当x=2时， 4+x=7是否仍然为等式呢？很多学生以为是答案的错误，但事实上，当x=2， 4+x=7仍然是等式，只不过是等式中的矛盾等式这一类。由于在初中数学教材中并未给出矛盾等式的概念，容易导致学生混淆概念，因此，我们可以认为方程的定义是“含有未知数的条件等式叫作方程。”但在这种定义下又会产生新的问题，比如x2+1=0在实数范围内属于矛盾等式，如果其定义域的范围进行扩展到复数范围，方程仍然可以看作是条件等式。由此可见，不同的定义有不同的优缺点，在“高观点”视角下，引入这些定义不仅是对数学教材内容的补充，更为重要的是让学生在思考、判断与分析过程中掌握方程的概念、体会到方程的实质。

二、“高观点”在解题教学中的应用

著名教育家斯托里亚尔说过：“可以把现代数学的重要思想转化为学生能接受的语言，这就为二者的融合提供了理论基础。”融合的关键在于在数学课堂教学中如何渗透数学思想方法。在“高观点”视角下，更加强调将数学思想方法贯穿于课堂教学中，用高等数学的思想、方法与观点来指导学生解题，从而沟通初中数学与高等数学之间的联系，帮助学生降低解题难度，并形成解题规律。

例1（不定方程组求解问题）：假设某种电子产品有A、B、C三种型号的配件，若购买A型号3件、B型号7件、C型号1件，一共需要3.15元;若购买A型号4件、B型号10件、C型号1件，一共需要4.2元。如果分别购买A、B、C三种型号各一件需要多少元？

解析：假设A型号配件单价为x元，B型号配件单价为y元，C型号配件单价为z元。根据题意可得：

这是一道不定方程组求解的题目。我们常规的解题方法是根据方程组的特点，采用配方法、乘法公式、因数分解等对方程组进行变形后再进行求解。这样通过分析，发现直接利用（1）×3 -（2）×2即可求出x+y+z的结果。

师：这道题目还有没有别的解法呢？怎么将上述问题转化为解析几何问题呢？（设计意图，站在“高观点”视角下，引导学生利用空间解析几何中的平面知识进行解题，深刻体会数形结合的思想方法）

师：在解析几何中，我们可以将方程（1）、（2）看作是两个平面，求解上述问题的关键在于如何确定一个过平面（1）、（2）交线的平面，即： x+y+z=k。平面的交线就是联立方程组求解。在空间解析几何中，已知两个平面的交线，如何确定经过交线的平面，可以采用以下方法，根据上面条件，可得经过交线的平面束为：λ（x+y+z-3.15） +μ（4x+10y+z-4.20）=0，通过拆项，移项，可得：λ=3， μ=-2，所以， k=3.15×3-4.20×2=1.05。

利用空间解析几何探究的目的，是帮助学生建立代数与几何的对应关系，虽然这部分知识超出学生的学习范围，但通过对解题方法的深入探讨，让学生了解到不定方程组的另一种求解思路，当题目中的参数发生变化时，不失为一种有效的解题方法。

三、“高观点”在小结课教学中的应用

在初中数学教材中，有不少的数学公式、定理、运算等需要学生进行归纳与总结，在课堂教学中无论教师是否会安排专题进行教学，但始终都离不开数学公式、定理及运算等内容的推广与转化。因此，在“高观点”视角下，教师可以通过有选择的安排专题，将课内的知识进行系统化，即每学完一个版块内容后，引导学生回顾并登高鸟瞰，这样有利于帮助学生构建完整的知识体系。

例2：（二次函数最值问题综合题）

（1）求以下函数的最值： y=x+1，y=-， y=x2-6x+5。

（2）分别求出当1≤x≤2，1≤x≤4， 4≤x≤6时，二次函数y=x2-6x+5的最小值。

（3）当1≤x≤4时，分别求出二次函数y=x2-6x+m，y=x2-mx+5，y=mx2-6x+5（m≠0）的最小值。

这是学生在学习完二次函数最值内容后小结课中设计的一道习题，其中问题（1）属于基础题，是站在函数的角度，将一次函数、反比例函数与二次函数这三种形态的函数结合起来考查学生对函数最值的掌握程度。问题（2）是以问题串的形式，让学生体会到当定义域发生变化时，二次函数最值的变化情况，尊重了学生的认知规律与知识内部之间的联系。当1≤x≤2时，反映了函数的递减性;当4≤x≤6时，反映了函数的递增性，而当1≤x≤4时，则反映了函数从减到增的过程。问题（3）同样是以问题串的形式，对含有参数的二次函数最值进行研究，由于含有参数，因此，二次函数的解析式无法确定，如何求解它在某一定义域内的最值问题，其关键在寻找到在定义域范围内函数值的变化规律。要弄清楚这一点，就需要准确地分析函数的开口方向、对称轴、自变量的取值范围以及一些关键点的位置。而这些都需要借助数形结合的思想方法来完成，充分体现了高等数学教育的价值取向，同时也促进了学生数学知识、经验与方法体系的构建。

综上所述，“高观点”视角下的初中数学教学是一种新的教学理念，是从低起点切入，在学生已有数学知识和经验的基础上进行高度提升，讓学生的数学知识更加丰实和厚重，从而对学生未来的数学学习起到引领作用。因此，这需要教师站在更高的视角和数学思想方法的立场上，重新审视初中数学教学的内容体系，在了解两者之间异同的基础上，以问题为引领，帮助学生掌握结构化知识和思维，并以不同的方式方法来研究与探讨初中数学，促使学生数学整体意识、数学思维与数学能力的提升，为学生的数学生命自然生长积蓄力量。