范德瓦尔登定理等比数列的推广

李安

摘 要：“六人集会问题”将拉塞姆定理带入众人的视线。拉姆塞定理的内容为：对于任意的正整数P、Q大于等于2，总存在正整数N0，使得任意一个至少有N0个点的图G中或者含有P个两两有边相连的点，或有含有Q个两两都无边相连的点，针对上述拉塞姆定理的内容，数学家们提出了很多其他理论。其中较为突出的是舒尔定理和范德瓦尔登定理。范德瓦尔登定理内容为对任意给定的L，K属于N，存在W属于N，使得把{1，…，W}任意拆成K个部分后，其中必有一部分含有L项等差数列。通过参考舒尔定理有限形式的乘法形式的推广过程，即利用指数函数包装等差数列的方法，范德瓦尔登定理也可以进行等比数列的推广，最终得出结论：对于任意正整数L，K，可以找到一个对应的N，使得对任意C：{1，2，3…，N}→K，都可以找到一个公比不为1，项数为L的等比数列。该结论使拉塞姆定理的推广内容更加完善，以及为进一步的推广提供了思路和方法。

关键词：拉姆塞定理;舒尔定理;范德瓦尔登定理;等比数列

中图分类号：TB     文献标识码：A      doi：10.19311/j.cnki.1672-3198.2020.05.101

1 拉姆塞理论

“任意367个人中，一定有二人生日相同”，类似这样的结论，只要稍加思考，便会点头称是。我们把总结这类问题的原理称为“抽屉原理”，又称“鸽笼原理”。“抽屉原理”更概括的说法是：把多于K·N个东西任意分放进N个空抽屉，那么一定有一个抽屉中放进了至少K+1个东西。

通过“抽屉原理”我们可以了解到拉姆塞定理的远祖，而拉姆塞定理最简单又不平凡的特例却是“六人集会问题”：在任意六个人的集会上，或者有三个人以前彼此认识，或者有三个人以前彼此不认识。这个问题简单标准的证明是：在平面上任意做出A、B、C、D、E、F六个点代表六个不同的人，若其中两人认识则用红线将这两人代表的点连接起来，反之则用蓝线连接起来。那么原来问题的证明等价于证明连线后存在红边三角形或蓝边三角形。观察其中某一点，设为F，从F连出五条边，易知，其中必有三条同色。不防设FA、FB、FC是红边，若AB是一条红边，则FAB是红边三角形;若AB是一条蓝边，则ABC是蓝边三角形（如图1所示），证毕。通过“六人集会问题”的简单证明，可以引出更为科学的定理—拉姆塞定理。

下面我們介绍经典的拉姆塞定理，首先我们需要了解完全图的概念。一个图G由两部分组成，分别是点集V和边集E，故可写成G=（V，E）。而一个图G如果满足点集中的任意两点都连边，则称G为完全图，另外，若V中有n个点，则称G为Kn完全图2。