四说微积分学中的这个重要函数

摘 要：在《微积分学中一个重要函数》[1]一文中，讨论了f（x）=sinxx的许多简单、显见的特性。《再说微积分学中的这个重要函数》[2]一文从该函数的导数计算入手，进行微积分中有关知识点的讨论。《三說微积分学中的这个重要函数》[4]是讨论了无穷小量等价代换。本文则是该函数进行高阶导数计算，仍可作为教材的补充。

关键词：函数;导数;高阶导数;极限;幂级数;罗必达法则

在《微积分学中一个重要函数》一文中，我们对第一个重要极限limx→0sinxx=1中的函数f（x）=sinxx 进行了一系列的讨论，指出了一些显著的特点，其中讨论到f（x）在x=0点处为可去间断点，于是有连续函数F（x）=f（x）， x≠0

1，x=0。

下面就对F（x）进行逐阶求导。

一、关于f（x）的导数计算

使用导数基本公式和法则可以得到：

f′（x）=sinxx′=xcosx-sinxx2，

f″（x）=（2-x2）sinx-2xcosxx3，

f（x）=3（x2-2）sinx+（6x-x3）cosxx4，

f（4）（x）=（24-12x2+x4）sinx+（4x3-24x）cosxx5，

……。

可见f（x）导数阶数越高，计算越繁琐，也没显著规律;在x=0点处不连续，也就不可导，但也仅在x=0点处不可导。

二、关于F（x）的导数计算

（1）当x≠0时，F′（x）=f′（x），F″（x）=f″（x），…，F（n）（x）=f（n）（x） n∈Z+。

（2）当x=0时，F（x）的导数，即F′（0），可以用二种基本方法计算：

方法一，用导数定义计算：

F′（0）=limx→0F（x）-F（0）x=limx→0f（x）-1x=limx→0sinx-xx2

=limx→0cosx-12x=limx→0-sinx2=0

方法二，用导函数的极限（连续性）计算：

F′（0）=limx→0f′（x）=limx→0xcosx-sinxx2=limx→0（xcosx-sinx）′（x2）′

=limx→0-sinx2=0

计算说明：①二种方法都用到了罗必达法则，方法一中用了二次;

②可以看出直接通过函数恒等变形求这类极限是不可取的;

③因为函数式中有减法，所以等价代换也是不可取;

④两种计算方法也证明了F′（x）在x=0点处连续，从而F′（x）是连续的。

所以，F（x）的连续导函数为：

F′（x）=xcosx-sinxx2， x≠0

0，x=0

（3）当x=0时，F（x）的二阶导数F″（0）同样可以这二种方法计算：

方法一，用导数定义计算：

F″（0）=limx→0F′（x）-F′（0）x=limx→0f′（x）-0x=limx→0xcosx-sinxx3=limx→0-xsinx3x2=-13

方法二，用导函数极限（连续性）计算：

F″（0）=limx→0f″（x）=limx→02-x2sinx-2xcosxx3=limx→0-cosx3=-13

计算说明：①仍用到了罗必达法则计算极限，但方法二中是借用方法一的极限计算;

②函数可导即意味着Δy与Δx是同阶或高阶无穷小，而本题中的Δx就是x，即有：

xcosx-sinx～-13x3

（2-x2）sinx-2xcosx～-13x3;

③两种计算方法也证明了F″（x）在x=0点处连续，从而F″（x）是连续的。

于是，就有：

F″（x）=2-x2sinx-2xcosxx3， x≠0

-13，x=0

（4）运用与（二）、（三）中类似的方法计算，可以得到：

F（x）=3x2-2sinx+6x-x3cosxx4， x≠0

0，x=0

F（4）（x）=24-12x2+x4sinx+4x3-24xcosxx5， x≠0

15，x=0

……

F（n）（x）=f（n）（x）， x≠0

An，x=0     n∈Z+

A1=0，A2=-13，A3=0，…

虽然可以逐阶求出F（x）更高阶的导数，但演算是相当繁琐的，且没有简单显然的规律。这就有寻找简捷有效的计算方法的必要。

三、利用幂级数解决问题

∵sinx=x-x33！+x55！-x77！+… -SymboleB@

∴F（x）=1-x23！+x45！-x67！+… -SymboleB@

通过等式两边同时求导和幂级数逐项求导法则，可得：

∴F′（x）=-2x3！+4x35！-6x57！+…， A1=F′（0）=0

∴F″（x）=-23！+12x25！-30x47！+…， A2=F″（0）=-13

∴F（x）=24x5！-120x37！+…， A3=F（0）=0

∴F4（x）=4！5！-360x27！+…， A4=F4（0）=15

……

∴F（n）（x）=1-x23！+x45！-x67！+…（n），

An=F（n）（0）=0，   n为奇数

（-1）n2n+1，n为偶数

利用幂级数可以很方便地求出F（x）的各阶导数！然而，对于x≠0时的各阶导数值计算反而是不方便的。

四、三组间接结果

（一）一组函数的幂级数展开

（1）xcosx-sinxx2=-2x3！+4x35！-6x57！+… （x≠0）

（2）2-x2sinx-2xcosxx3=-23！+12x25！-30x47！+… （x≠0）

（3）3x2-2sinx+6x-x3cosxx4=24x5！-120x37！+… （x≠0）

（4）24-12x2+x4sinx+4x3-24xcosxx5=15-360x27！+… （x≠0）

……

（二）一组极限计算（多项式函数与三角函数组合函数）

（1）limx→0x-sinxx3=16

（2）limx→0sinx-xcosxx3=13

（3）limx→0x2-2sinx+2xcosxx3=13

（4）limx→03x2-2sinx+6x-x3cosxx5=15

（5）limx→024-12x2+x4sinx+4x3-24xcosxx5=15

（6）limx→0x3+3x2-2sinx+6xcosxx5=310

（三）一组等价无穷小

（1）6（x-sinx）～x3

（2）3（sinx-xcosx）～x3

（3）3x2-2sinx+2xcosx～x3

（4）53x2-2sinx+6x-x3cosx～x5

（5）524-12x+x4sinx+4x3-24xcosx～x5

（6）10x3+3x2-2sinx+2xcosx～3x5

參考文献：

[1]陆宗斌.微积分学中的一个重要函数[J].当代教育实践与教学研究，2017.9.

[2]陆宗斌.再说微积分中的这个重要函数[J].知识文库，2018.14.

[3]左元武，陆宗斌.高职数学[M].北京：北京理工大学出版社，2014.8.

[4]陆宗斌.三说微积分中的这个重要函数[J].科学技术创新，2019.25.

课题：2018年度教育类教指委课题“互联网+”背景下高职数学课程混合式教学模式的研究与实践，（2018GGJCKT142）主持人缪烨红

作者简介：陆宗斌（1962-），男，汉族，江苏太仓人，南京工学院数学学士，副教授，研究方向：高职类数学教学。