平行“邂逅”翻折

蔡雨婷

几何世界里，翻折带来了角的平分，平行带来了同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，当它们“邂逅”了，会擦出什么火花呢？我们以题为媒，管中窥豹，

如图1.长方形ABCD沿着折痕EF翻折，点A，B的对应点分别为点A和B，已知∠FED=65°，求∠CFB的大小.

此题我们可以这样思考：在长方形ABCD中，有AD//BC，所以∠BFE= ∠FED=65°，又因为翻折，即FE平分∠BFB，所以∠BFB=2 ∠BFE=2x65°=130°.所以∠CFB'=50°.

此解法中，我们用到了平行线以及角平分线的性质，这两个几何知识互相关联，通过平行，可知内错角相等;通过翻折，可推得角平分，巧妙地实现了角的转化，

当然，此题只解到这儿，那就太可惜了，若已知∠FED=65°，其他条件不变，能否求出此图中的其他角（如∠A'EG）呢？

解法1：如圖2，过点B作MN//BC，则MN//AD，∠CFB'= ∠MB'F=50°.因为∠FB'G=∠ABF=90°，所以∠MBG=40°.所以∠DGB=40°.又因为∠A=90°，所以∠A'EG=50°.

解法2：因为∠FED=65°，所以∠AEF=115°.又因为翻折，即∠A 'EF= ∠AEF=115°（这里的两个钝角相等是很多同学不曾关注至0的），所以∠A 'EG=∠A 'EF-∠FED=50°.

解题到这里，竟然发现∠A 'EG=∠B'FC，具有一般性吗？定睛一看，发现图中A'E//B'F，ED//FC，联想到老师课堂上讲到的一道习题：若两个角的两边互相平行，则这两个角的数量关系是

（答案为“相等或互补”）.几何真是奇妙啊，处处相关联，时时有惊喜！我们根据已知条件，推导出了这么多角的度数，也不难发现，知道图中某一个角的度数，就可以求出其他角的度数，也许这就是郑老师口中的“知一求n”吧，后来，经老师提点，我还编出了下面这道题给同学们去做：如图1，已知∠FEG=2 ∠A 'EG，其他条件不变，求∠BFC的大小，

因为题中没有出现具体的角度，出现的只是角之间的数量关系，所以我们可以用方程思想去解决，不妨设∠A 'EG=x，则∠FEG=2x，因为翻折，所以∠AEF=∠A 'EG+∠FEG=x+2x=3x，所以∠AEG= ∠AEF+∠GEF=3x+2x=1800.解得x=360，所以∠BFC= ∠A 'EG=36°.看了解答之后，有没有恍然大悟呢？将方程思想融入图形，让代数与几何互联，充分展现了图中某些角之间的关联.

研究数学题就像一次旅行，我们不能只追求目的地的到达与否，沿途的风景也是美不胜收的.慢嚼才有积淀，细思方能悟道.

指导老师点评;此题中的角在平行和翻折的映衬下，确实密切关联，此题也是初中阶段几何中的“知一求n”的典例，深入明一题，胜似做十题，将其研究通透，一定能受益良多.