问题为基础的启发式教学方法的具体应用“直线的一般形式”教学过程

1.回顾已知

老师：在此之前，咱们学习了平面直角坐标系中直线方程的几种特殊形式。那么，请同学们独立完成一下这个表格。

使用前提 直线方程

点斜式

斜截式

两点式

截距式

（将直线方程的特殊形式进行系统的整理归纳，能唤醒学生对直线方程的基本记忆，使其与此节课新学的知识点有所联系，便于学生将直线方程进行系统化的整理。）

2.引入课题

老师：刚才我们已经对上节课所学的知识进行了复习回顾，现在我想请大家思考一个问题：上述四种特殊形式的直线方程是否能够表示平面直角坐标系中全部的直线？

（学生在围绕直线方程特殊形式的局限性而展开积极主动思考时，会有一种却想说而不知道该如何表达的心理状态，这时的学生思维最活跃，教师把握好时机适当加以诱导能更好推动课堂高效发展。）

H同学：我认为可以。

I同学：我认为H是错误的，因为每种特殊形式的直线方程在表示直线的时候都有条件限定。

（两人的观点产生了冲突，大家都被卷入这场博弈之中，能够激发同学们继续学习研究的欲望）

J同学：我认为I说的是对的。因为只有当被表示的直线 与 轴垂直，即直线 的斜率存在时，才可以用点斜式或斜截式表达;而只有当直线 与 轴不垂直，也与 轴不垂直，也就是当直线 上的两定点满足 且 ，时，才能运用两点式进行表示; 线在两轴上的截距都存在，且 ， 时才能用截距式。

老师：同学们都讲得很好，根据刚刚我们一起的讨论和几位同学的优秀总结，现在可以得到：

1.我们上节课所学到的直线方程的四种表达形式都不能适用于平面直角坐标系中任意一条直线，他们有其各自的限制。

2.因为与 轴垂直的直线的斜率存在，其方程虽然不能用截距式表示，但可以用斜截式表示。那么，同理可得，过原点且不与x轴垂直的直线也是这样。

那么现在就出现了一个问题请大家思考一下：有没有那么一种直线，是四种特殊形式都无法进行表达的呢？如果有，它有什么特征？

所有学生：有！它与 轴垂直。

老师：那有没有办法把用方程表示出与 轴垂直的这一类直线？

所有学生：有！就是 。

（经过一番引导推理，学生对与 轴垂直的直线的方程表达形式有了一定的自我理解和猜想，接下来自然而然就是要把它完善。）

3.内容展开

老师：探索到现在为止，我们知道了任何一条平面直角坐标系中的直线都可以用直线方程的四种特殊形式加上 这五种形式中的一种或多种进行表达。

那么请大家再进行思考：我们能不能创建一个新的表达形式，可以将上述五种直线方程的表达形式都囊括其中？

（经此一问，学生再一次被置于“愤悱的情境之中，对新知识探究的欲望更强烈了。）

L同学： 由上节课可知，直线方程的其他三种特殊形式都可以转化为斜截式，因此我觉得可以将直线的表达形式都统一于斜截式中。

M同学：那方程 也可以统一在斜截式中吗？

L同学：哦！我没把这个方程考虑在内。

（等大多數学生感到难以统一时，教师可以适当提示）：直线方程的四种特殊形式虽然各有不同，但大家可以尝试着找找它们的共同点。

N同学：直线方程的这些表达形式都是关于x，y的二元一次方程。

老师：咦， 也是吗？

O同学：当然是！只要使未知数y的系数为0，即 ，简写就是 。

P同学：这么一说，方程 还能看成是关于未知数x，y， ……的一次方程呢！

O同学：现在我们只是在平面直角坐标系中讨论，只要未知数的个数小于等于二，所以，方程 只看成 ， 的一次方程就够了。

老师：真好，同学们都敢于对其他同学的观点进行辩驳，说明大家都有敏锐的观察力和较强的思辨能力。那么，我们可以用一个怎样的方程来表示平面直角坐标系中的任一直线呢？

所有学生：可以用含未知数 ， 的一次方程 对平面直角坐标系中的任意一条直线进行表达。

老师：不错！就像大家刚刚说的一样：平面直角坐标系中任何一条直线都可用方程 来表示。

那么，联系直线方程的定义，请大家再仔细想想：你怎么就确定方程 表示的总是直线呢？（这样能使知识环环相扣，精益求精，使数学更加精确，问题有了新的走向，能够充分开发学生的大脑思维的同时也将同学们刨根到底的心态进一步激发了。）

Q同学：用描点法就行。

R同学：描点法所画出的图象往往只是近似的，用它进行数学结论的严格证明还是有所不妥。

S同学：我认为可把方程 化为直线方程斜截式的样子，如 ，也就是说它所表达的直线斜率是 ，与y轴所截得的截距是 。

同学：你说的是 的情况，在 时，由于 ， 不能同时等于0，那么这种情况下 就可以化为 ，显而易见，它与x轴垂直了。

老师：请大家仔细想想，结合S和T说的，可以解决什么问题？

所有学生：证明了关于未知数x，y的一次方程 总是表示一条直线。

老师：那么，咱们这节课讨论到现在就成功得到了以下结论：

首先，平面直角坐标系中的任意一条直线都可写成关于未知数x，y的一次方程 的形式;

其次，方程 在平面直角坐标系中表达的总是直线。

老师：那么，我们刚刚推导出来的方程 与直线的四种特殊表达形式之间有怎样的联系？咱们该怎么称呼它？

所有学生：刚刚推导出来的方程是方程其它表达形式的总和，囊括了它们所有可能的情况。我们可以称方程 为直线方程的一般形式。

老师：很好，看样子大家对直线方程的一般形式已经有了一定的了解和掌握，那么接下来请大家做两道题来巩固一下！

4.课堂练习

完成书后习题第四大题，做完之后小组之间可以相互检查讨论。

作者简介：张紫薇（1997.10），女，汉族。湖南湘潭，硕士研究生。湖南科技大学，学科教学（数学）