数形结合，促进算理理解

教学内容

《义务教育教科书·数学》（人教版）三年级下册第二单元第15-16页

教学目标

1.理解一位数除两位数的算理，掌握笔算方法。

2.经历笔算除法的探究过程，渗透数形结合和转化的数学思想，初步形成归纳概括能力，积累数学活动经验。

3.体验数学与生活的联系，激发学习数学的兴趣。

教学重难点

教学重点是掌握除数是一位数的笔算方法。教学难点是理解每求出一位商后，如果有余数，应该与下一位的数和在一起继续除的道理。

教学策略

1.实物操作。在教学笔算除法时，要注意将分小棒的过程充分“物化”，让学生在具体操作中，积累数学活动经验，并为理解相应的竖式计算过程提供支持。

2.数形结合。在讲解与归纳过程中通过小棒将算理具体化，让学生理解每一步计算结果的含义，在具体实践中，建立形象，形成表象，逐步感悟算理，促进思维发展。

3.注重表达。

教学过程

一、创设情境，导入新课

1.出示情境：同学们，每年的3月12号是我国的植树节。请看，小朋友他们正在种树呢！从图你们能获得哪些数学信息？（课件出示主题图）

2.导入新课：请学生思考，怎样解决我们提出的问题？（三年级平均每班植树多少棵？四年级平均每班植树多少棵？ ）

设计意图：充分利用主题图，培养学生爱护环境，保护自然的情感，使学生知道在植树活动中有数学，激发问题意识。

二、合作交流，探究新知

（一）教学例1

1.列式：孩子们，我们先来解决三年级的问题，三年级平均每班要种多少棵树，你们会列式吗？

生：42÷2。

师：能说说理由吗？你说要把42棵树平均分给两个班，所以要用除法。

2.尝试计算

师：请同学们先想一想，可以怎样求42÷2的得数，并将想法填写在学习单上，最后以四人小组为单位议一议。

学生汇报：

法一：估算

生1：将42÷2看成40÷2，大约等于20。

师：很好，估算可以帮我们后面判断笔算结果是否合理提供了依据。

法二：口算

生2：把42分成40和2，40÷2=20，2÷2=1，最后把它们的结果相加得21。

师：你能用我们学过的表内除法的知识来解决问题，真不错。

法三：摆小棒

让分小棒的小组到讲台前演示分小棒的过程，并进行讲解：42就是4捆小棒加上2根小棒。先分4捆小棒，把4捆小棒平均分成两份，每份是2捆小棒，还剩下2根小棒，把这2根小棒平均分成两份，然后跟刚才分的2捆小棒合起来。平均每份就有21根小棒。

师：同学们，你们看懂了吗？他们借助我们的老朋友小棒来解决问题！

设计意图：以上设计注重算法的多样化。首先需要充分认识估算在日常生活和工作中的广泛作用，认识估算对学生的数感培养具有重要意义，同时立足于学生已有的知识经验，让学生运用已有知识经验解决新问题，感受新旧知识之间的联系，为后面理解竖式的算理起到了很好的思维及形式的铺垫。

3.讲明算理（以下要将摆小棒图与说理结合起来）

法四：笔算

师：大家能不能列竖式来计算？那请一位为学生黑板将计算过程写出来。

（1）教师提问：孩子们，你们看明白了吗？谁能够结合摆小棒的方法说说他们是怎么笔算的？

教师根据学生回答，结合小棒进行讲解：先从十位除起，十位上有4个十，4个十除以2等于2个十，也就是把这4捆小棒平均分成了两份，每份2捆，所以在十位上商2。2乘2个十等于4个十，表示被分掉的4个十，也就是剛才分掉的4捆小棒。已经分掉了4个十，还剩个位上的2个一，就是剩下的2根小棒，2个一除以2，商1，1乘2，一二得二，也就是分掉的2根小棒。相减得0。

设计意图：让学生将42根小棒平均分成两组的思考过程和竖式笔算的过程进行对照，笔算过程就是把分小棒的过程用竖式的形式表示出来，让学生看到竖式笔算与分小棒的过程存在着本质的联系，为学生深刻理解算理奠定坚实基础。

（2）加深理解

教师：对于我们刚才的解答过程，你们还有什么疑问吗？

A：为什么要在十位上商2？（把这4捆小棒平均分成了两份，每份2捆，所以在十位上商2）

B：过程中的4表示什么？（表示被分掉的4个十，也就是刚才分掉的4捆小棒）

C：下面的两个2是什么意思？（上面的2表示还剩2个一，就是剩下的2根小棒;下面的2表示分掉2个一，也就是分掉2根小棒）

D：0代表什么？（表示没有剩余，因为还剩2个一，又分掉2个一，因此没有剩余）

设计意图：通过讨论交流，让学生理解竖式的算理，先从高位算起，个位未进行计算移下来计算，讲完过程后又通过一系列问题讨论来加深印象，能够让学生对算理清晰理解。

4.小结并优化：（1）回顾一下，我们都是怎样解决问题的呢，请你来说一说，请同桌间也互相说一说。（2）我们用了这么多种方法来解决问题，你们最喜欢哪一种？为什么？你说最喜欢列竖式计算的方法，它不仅计算简洁，并且每一部表示上面意思都很清楚。这就是我们今天要学习的两位数除以一位数的笔算除法（板书课题：笔算除法）

（二）教学例2

1.列式：同学们，那四年级平均每班种多少棵树？我们可以怎么列式？大家都说用52÷2。你们能结合例1所学的除法竖式，先摆一摆小棒，然后在学习单上将分52根小棒的过程用竖式表示出来吗？如果有问题，可以随时求助老师！

设计意图：例2教学时同样要让学生经历分小棒的过程，将分小棒的过程和竖式结合起来，以便借助数形结合提炼算法，实现算理到算法的自然过渡。

2.学生汇报结果，结合小棒明确竖式的计算过程：

（1）       笔算除法的计算时，要从被除数的最高位除起。

（2）       被除数十位上的5表示5个十，5捆小棒不能平均分成2份，最多平均分其中的4捆，平均分成两份，每份是两捆。表示最多能分2个十，要在商的十位（跟被除数的十位数对齐）上写2。

（3）       用除数2去乘2个十，积是4个十，把4写在十位5的下面。5捆小棒分掉4捆，还剩l捆，5减4得1，表示十位上还剩1个十没有分。

（4）       剩下的1捆小棒，要拆开与2根合并为12根再分。也就是剩下的1个十与个位上的2个一合并。这时要把十位上的余数1个十和被除数个位上的2落下来，合在一起，表示剩下12个一。12除以2得6，要在商的个位（和被除数的个位对齐）上写6。

（5）       再用除数2去乘6，积是12，表示从被除数中又分掉12个一，写在落下来的被除数的12的下面。12减12得0，在余数的位置上写0，表示分完了，计算过程结束。

设计意图：让学生充分经历直观操作（ 平均分小棒）、语言表征（具体说说怎么分的）以及符号表征（抽象出竖式）的过程。这样，学生既能说清操作过程，看懂图示，会用竖式表示，又能根据竖式用操作活动和图示进行解释，促进了学生对算理的理解。

3.验算：同学们，我们刚才通过探究52÷2=26，到底正确吗？应该怎么办？

你們提出要进行验算，你是说：在没有余数的除法算式里，可以用商和除数相乘，看是不是被除数来进行验证。你的方法很巧妙，那请同学动手算一算。

设计意图：验算可以帮助学生及时发现解答问题时出现的错误，并能迅速纠正。验算可以有效帮助学生克服“粗心”的缺点。提高学生计算能力的关键是引导学生养成良好的验算习惯。

（三）比较例1和例2的区别

师：同学们，我们今天通过笔算除法来解决问题，比较一下，例1和例2的两个除法竖式有什么不同呢？我们是怎样进行计算的？

生1：第一个竖式，除数去除被除数最高位时能够除尽，没有余数。第二个竖式，除数去除被除数最高位时不能除尽，有余数。

师：笔算除法时，如果十位上除后有余数怎么办？

生2：如果除到被除数的十位以后还有余数，要把余数与被除数的下一位数合起来继续除。

设计意图：通过比较两道例题的区别，突出“被除数十位上有余数”的情况，帮助学生掌握两位数除以一位数的笔算方法。

（四）总结算法

师：我们这节课探究了笔算除法，谁来说说应该怎么计算？

一位数除两位数的笔算方法，从被除数的高位除起，除到被除数的哪一位，商就写在那一位上面，如果求出一位商后还有余数，余下的数要与被除数个位落下来的数合并后，继续除。

三、应用拓展，提高技能

完成书本16页做一做，请你们同桌间化身为书上这两只小兔子，比一比，看谁又快又准确计算出这些竖式的得数，获得胜利的果实！

设计意图：通过练习一是让学生巩固新知识，提高学生应用知识解决实际问题的能力;二是结合解决课始提出的问题，让学生体验应用数学学习思考的重要性。

四、总结收获，归纳方法

这节课我们学习了除数是一位数除两位数的笔算除法？是怎样学的呢？谁来跟大家分享一下你的收获？

小结：一开始同学们通过迁移将除数算式转化为以前学习过的表内除法来解决问题，能学以致用。又能通过摆小棒来理解一位数除两位数的除法竖式计算过程，体现了数形结合的思想，这是学习数学的好方法。如果同学们以后也遇到类似问题，希望你们能继续用这种方法来使问题迎刃而解！那现在让我们去智慧囊上闯闯关吧！

设计意图：本环节通过总结课题—内容—学法三个层次回顾了整节课的知识点以及探究过程。让学生回顾学习过程，反思评价，再一次体验学习经历，对学习过程是进行系统化、条理化的归纳，不仅促进学生掌握知识、领悟方法，培养学生问题解决的能力。

教学设计特色

1.算法多样，基于已有经验。

学生新知的学习是基于已有知识和经验的主动建构，是在原有基础上形成、拓展、验证和修改，是一个动态进步的过程。在本节课教学前，学生已经学习了表内除法以及简单的除法竖式，具有一定的经验。因此在教学例1时让学生自主选择喜欢的方法来解决问题时呈现出算法多样的情况，能够帮助学生形成发散思维，复习旧知、突破新知。

2.数形结合，加强算理理解。

数学结合思想在数学教学中应用广泛，它能将数量关系问题转化为图形性质来研究，以便以形助数，使问题简单化和具体化。例1教学让每个学生经历将42根小棒平均分成两组的过程，让学生明白除的顺序和平均分小棒的顺序一致，结合竖式弄清每一步计算中各个数的含义。例2教学同样也要让每个学生经历52根小棒平均分两组的过程，将分小棒的过程与竖式结合起来，让学生明白竖式中每个数的含义及来由，借助文字表征提炼算法，实现由算理到算法的自然过渡。因此在教学过程中多运用直观工具教学，对于学生巩固和加深对有关数学知识的理解、打好基础、提高能力是非常重要的。

3.问题启发，促进思维深层。

解决问题不是单纯的解数学题，而是包括提出数学问题、建立数学模型、寻找解决问题的策略、制定解决问题的计划、实施解决方案、反思评价等。在本节课教学中，首先设计了导向性的问题“可以怎样求42÷2的得数”;接着是计划性问题“结合摆小棒的方法说说他们是怎么笔算的？”;最后是目标性问题“笔算除法应该怎么计算？”使得学生探究并理解笔算除法的算理，进一步掌握算法。教师和学生围绕这个问题进行交往互动，形成解决问题的方法，充分体现数学学习的过程就是解决问题的过程。

作者简介：潘婉婷（1996-）女，汉，福建泉州，研究生在读，集美大学（福建厦门，361021），基础教育