余数不同，结果就不相同？

马迎雪

[摘要]在帮助学生纠正“余数不同，结果就不相同”的错误认知过程中，深有感触。对于新知识，不论是学生还是教师，都应该对其深度挖掘，追求知识本质。知识不应局限于教材本身，更重要的是学习知识的过程中收获的数学学习思想，并善于利用思想把知识连点成线，建构属于自己的知识结构，进一步提高数学学习能力。

[关键词]余数;本质;深度挖掘;过程;思想;能力

[中图分类号]G623.5

[文献标识码]A

[文章编号]1007-9068（2020）32-0057-02

学习了苏教版教材四年级上册“商不变的规律”后，学生出现了较大面积的理解误区：200÷30=20÷3=6……2或者200÷30>20÷3。这种情况引起了教师的重视和研讨的兴趣。为了调查全班学生的理解状况，笔者在班级中进行了一次针对性问答：

师：200÷30和20÷3这两个算式相等吗？说说你的理由。

生1（非常自信）：当然相等，被除数和除数同时除以10，商不变，这是商不变的规律。

师：200÷30=？ 20÷3=？

生2：200÷30=6……20.20÷3=6……2。

师：200÷30=20÷3成立吗？为什么？

很多刚刚回答“相等”的学生陷入了思考中或者干脆否定，认为不相等，因为余数不相等，所以结果也不相等。

调查显示，大部分四年级学生认为“余数不相等，结果就不相等”。

因为五年级学生已经学习了小数除法，于是笔者也在五年级展开了同样的调查：

师：四年级时我们学的是有余数的除法，算得200÷30=6……20。20÷3=6……2，那么200÷30=20÷3吗？为什么？

生1：相等（开始说“不相等”，但慌忙摇头坚定地改口说“相等”），因为200÷30=20÷3=6.66……

师：可余数不相等啊。

（片刻的安静后）

生2：有余数说明有剩余还可以继续平均分，余2是继续平均分成3份，余20是继续平均分成30份，所以继续分的结果还是一样的。

调查显示，五年级学生不再轻易地被表面的结果迷惑，几乎所有学生都认定余数不同只代表没有充分平均分，充分平均分后的結果是一样的。在与五年级学生交流的过程中发现，他们四年级学习时关于余数的思想误区已经解决，从除法的本质平均分人手，有余数说明有剩余，没有充分的平均分。用此方法再跟四年级学生分析时，他们豁然开朗。

在针对学生较大面积地出现理解误区进行调查和解决的过程中，产生了几点关于课堂教学的思考。

一、追求知识本质，规避表面误区

学生产生“余数不相等，结果就不相等”的误解，归根结底是没有重视知识本质，没有从本质入手去思考问题。其实，不论是课堂上，还是做习题中，学生都能很快判断什么情境用除法，也知道除法包含平均分和包含除，但在这个余数问题中，学生似乎把目光都放在余数身上，完全忘记了这是除法中产生的余数，更别说从平均分的角度来思考问题了。

因此，面对每一个新接触的数学知识，学生需要充分经历知识的产生和发展过程，这样才可以把新知识的本质纳入自己的知识系统中。

现如今，追求公式、定理、题海的数学时代已经过去，义务教育阶段更是注重对知识的追根溯源及于追源过程中培养学生的数学素养。这显然对学生尤其是教师提出了更高的要求，要求学生有从知识本质思考的习惯，要求教师必须对每一个知识的来龙去脉了如指掌，还要善于洞察学生的学习困难点，并及时引导突破。

二、提高推理能力，抓住培养关键期

在调查五年级学生时，发现他们虽然会有短暂的思考停顿，但很快就得出“虽然余数不相等，但是得数依然相等”的结论。尽管学生已经有了小数除法的理论基础，但是他们没有停止思考，而是用小数除法的知识得出肯定结论后，反过来思考为什么会出现余数不同，一步步想到为什么会出现余数，进而深层次思考除法的本质。这一切都得益于学生有一定的推理能力。而对比中明显感受到四年级学生推理能力的不足。小学生思维能力的发展是有一定规律的，其中四、五年级是学生推理能力发展的关键期。因此，教师应抓住培养关键期，有意识地培养学生的推理能力，教学时多设计有效核心问题及问题串，组织学生思考“为什么”。

其实在数学课程中就有很多培养推理能力的内容，比如商不变的规律，就是归纳推理，从特殊到一般的推理。教学该内容时经常出现这样有意思的现象：通过对比式子，大部分学生得出结论：“被除数和除数同时乘2，商不变;被除数和除数同时乘4，商不变……”结论倾向于就题论题，而只有少部分学生可以得出比较有概括性的结论：不管被除数和除数同时乘几，商都不变。因此，如何通过课堂教学的组织，实现全班学生从特殊到一般的思想飞跃，再进而验证推理的严谨性、完善性等，都对学生和教师提出了更高的挑战。

作为教师，应将学生能力的培养融进课程教学中，深入思考学生和课堂的结合点，提高教学质量，聚焦素养培养。

三、深度挖掘教材，拓宽思维视角

商不变的规律是通过具体的计算、表格填写、归纳推理进而得出结论的。学生掌握这个知识点本身并不难，但是容易形成“什么都不变”的思维定式。就像刚开始问学生：200÷30=20÷3成立吗？学生都回答“成立”，因为商不变的规律。其实，学生这时根本就没有认识到虽然结果是相等的，商是不变的，但是余数是会变化的事实，更不会认识到余数不仅有变化，而且也是有规律的。因此在教学中，教师有必要深度挖掘教材，拓宽思维角度。

在教学中，商不变的规律是否可以升级为“商不变、余数变化的规律”？在设计表格时，除了被除数、除数、除法算式和商，可增设“余数”一栏，通过同样的推理方式，得到结论：被除数和除数同时乘以或除以一个相同的数（0除外），商不变，但是余数会变，余数随被除数或除数变化，也要乘以或除以这个相同的数。其实这个设计教师肯定不陌生，因为它正好出现在课后练习中，但是这个问题是不是可以渗透到新课程的学习中，甚至可以拓展到更多的版本（商随被除数变化的规律、商随除数变化的规律等）中呢？

知识和思维的延展对学生来说是有必要的，但是更重要的是通过这种方式，让学生了解到书本上的知识是有限的，而通过知识学习的过程中感悟收获的思维和能力却是无限的。学生可从不同知识内容的学习中感受到相同的思维方式和知识本质，比如“小数点向右（左）移动引起小数大小变化的规律”（苏教版教材五年级上册）学习中同样应用到了归纳推理、“小数除以小数”（苏教版教材五年级上册）转化时亦用到了商不变的规律等。学习时，学生对相同的数学思想方法又进行了一次调用和巩固，并且通过相同的思维方式的牵引学生又可把看似不同的知识点连成线，建立自己的知识体系，进一步增强学习数学的能力。

作为教师，应通过平时教学中出现的问题，及时反思，改进教学，并积极引导学生，让课堂更有质量。

（责编 黄春香）