关于教材中三角形有关内容探索活动的设计研究（一）

刘慧 刘宪升

[摘要]比较研究现行教材中关于三角形的稳定性及三边关系探索活动，得出大部分教材没有揭示三角形稳定性探索活动的表现形式或实质，且三角形三边关系探索活动的设计有的不完备，思维含量都较低;指出了探索活动大都存在机械式的操作和浮于表面、流于形式的问题;提出了引导学生通过积极动脑进行探究比机械式的操作探究更为重要的观点。

[关键词]三角形;稳定性;三边关系;探究

[中图分类号]G623.5

[文献标识码]A

[文章编号]1007-9068（2020）32-0004-05

三角形是平面几何的重要内容，它是学习多边形的基础。由于三角形内容比较简单，易于操作，故各版本教材在编写时都注重了有关探索活动的设计，体现了新课改的教育理念，展现了数学知识的形成过程。然而，研读、分析教材中探索活动的设计，以及教学实证研究后发现：有的探索活动没有必要;有的探索活动缺乏启发性，变成了单纯的机械操作;有的探索活动没有揭示知识所蕴含的实质;有的探索活动很难完成，等等。这不仅影响了教学效率的提高和教学目标的实现，还严重束缚了学生的思维。因此，有必要对各版本教材中三角形有关内容的探索活动做一比较研究。

小学阶段三角形的主要内容有三角形的有关概念及分类、稳定性、三边关系、内角和及其面积。综观国内现行各版本教材，沪教版教材没有编排三角形的三边之间关系与内角和，三角形的概念和分類编排在二年级，三角形的稳定性和面积则编排在五年级第一学期;其他版本教材都将三角形的有关内容安排在第二学期，三角形的有关概念、稳定性、三边关系与内角和都安排在四年级第二学期;三角形的面积安排在五年级第一学期。本文先对三角形的稳定性和三边关系的探索活动做一探讨。

一、三角形稳定性探索活动设计的比较与分析

关于三角形的稳定性探索活动的设计比较简单，西师大版教材没有编排;除苏教版教材（图1）将其安排在阅读内容中外，其他版本教材都将其作为课堂教学内容。

1.探索活动的设计比较

关于三角形稳定性探索活动，设计的都是动手操作实验，但是实验的方法和得到的结果并不相同。沪教版教材（62页截图;图2）让学生用三根小棍首尾相接围成一个三角形，再想一想并实验能否用这三根小棍围成其他形状的三角形，获得的结论是：“三角形的三条边确定了，它的形状、大小也就完全确定了。”但没有明确指出这是三角形的稳定性。其他版本教材都是用三根木条（木棒、小棍等）做成一个三角形的框架，然后拉一拉，引导学生发现结论。除苏教版教材（图1）外，其他版本教材还设计了四边形或五边形的框架，引导学生对比后发现结论，这点还是很好的。

从实验的结果或得到的结论来看，苏教版教材明确指出了三角形的稳定性，也就是“当一个三角形的三条边的长度确定后，这个三角形的形状和大小就不会改变”。北师大版教材（图3）和冀教版教材（图4）实验得到的就是稳定性，当然隐含着形状不变;而青岛版教材（图5）通过指出四边形框架一拉就变形，凸显拉三角形框架不变形，得出三角形的稳定性。浙教版教材（图6和图7）明确指出了“用三根木条钉成一个三角形，用力拉，这个三角形不会变形。这是三角形的稳定性”。只是叙述中“钉成一个三角形”改成“钉成一个三角形框架”就更严谨了。而人教版教材（图8）先设计了用3根和4根小棒摆三角形和四边形，得出用3根小棒只能摆出一种形状的三角形，再通过四边形框架一拉就变形，凸显拉三角形框架不变形，进而得出三角形的稳定性。

2.探索活动的设计评析

可见，虽然都是探讨三角形的稳定性，但得到的结果或对稳定性的认识是不同的。其实，关于三角形的稳定性从稳定二字来说当然是三角形的框架拉不动，可起到稳固物体的作用，但是从其表现形式来说，还应该有三角形框架的形状和大小是不变的或完全确定的，即当一个三角形的三条边的长度确定后，它的形状和大小就是确定不变的。可是，众多教材中，明确指出或得到这一结论的只有苏教版教材和沪教版教材，其他版本教材仅仅得出或隐含着“形状不变”，令人非常遗憾！当然，有的人可能认为这没有多大区别，更没必要吹毛求疵。其实不然，这一结论粗看起来是三角形稳定性的外在表现形式，然而其蕴含的却是初中所学的极为重要的——两个全等三角形三对对应边相等（三角形全等的判定定理）这一实质。

另外，有的教材语言叙述欠严谨。如，浙教版教材（图6和图7）中出现了用木条钉成图形，而钉成的应该是某种图形形状的框架;青岛版教材（图5）中出现的拉三角形和四边形，应该是拉三角形框架和四边形框架;人教版教材（图8）中“摆出的都是一种三角形”，也应该改成三角形框架，并且这里的“一种”存有歧义，是表示完全一样的三角形？还是同一种类型的三角形？

由此可见，探索活动大多是流于形式的操作活动，能达成的也就是让学生忙忙活活、热热闹闹地乐呵一顿，实现所谓的活跃课堂气氛。众所周知，操作活动只是探索活动的一种辅助手段，只有让学生动脑且触及知识实质的探索才有意义。

二、三角形三边关系的探索活动设计比较分析

综观各版本教材，关于三角形任意两边之和大于第三边这一知识点，沪教版教材上没有编排，只是在二年级第二学期给出摆三角形的活动，但没有明确指出这一三边关系。其他版本教材都设计了探索活动，下面做比较分析。

1.探索活动比较

各版本教材设计的探索活动，无一例外都是先给出一组或几组有确定长度的材料（纸条、小棒、吸管等）让学生操作，看看能否摆（搭或围）成三角形，并进行探究。但从给出材料的长度看，有的包含任意两根长度之和大于第三根长度的情况;有的包含两根长度之和小于第三根长度的情况;有的包含两根长度之和等于第三根长度的情况。具有这三种情况的教材有：人教版教材（图9）、北师大版教材（图10）、青岛版教材（图11）、浙教版教材（图7）。这属于对不同类型三角形的完全归纳，得到的结论是正确的。

值得指出的是，青岛版教材还列出了不能围成三角形的两边之和与第三边的大小的式子（38页截图;图12），通过与能围成的形成对比，可使学生更深刻地认识三角形任意两边之和大于第三边的关系;浙教版教材难能可贵的在73页（图13）提出了“为什么”的问题，而且是众多教材中唯一提出的，这促进了学生的动脑思考和知识的内化。

而冀教版教材（图14）、苏教版教材（图15）给出的材料只包含前两种情况，不包含两根长度之和等于第三根长度的情况，属于不同类型三角形的不完全归纳，所得的结论未必正确。苏教版教材虽然在78页（图16）提出了“如果三根小棒的长度分别是8厘米、5厘米和3厘米，能围成三角形吗？为什么？”的问题，但这可以看成是结论的应用，因为5+3=8（厘米），所以围不成三角形，这不足以弥补教材设计的缺陷。

西师大版教材37页（图17）给出的是让学生“把一根吸管任意剪成三段”，尝试能否围成三角形的问题。这很容易将学生引导到想办法围成三角形的问题上，学生做的可能只有围成三角形情况的，两段之和等于第三段的情况很难出现，要做到完全归纳是很难的。再者，西师大版教材还要求学生测量剪成的三段的长度，且精确到毫米，难道本节课的内容是学习测量长度？这有点本末倒置。

2.探索活动的设计评析

关于三角形三边关系探索活动的设计，从操作材料来看，有的教材没有给出全部的三种情况，属于不完全归纳，得出的结论仅仅是猜想而已，缺乏严谨性。其實，更重要的是，除浙教版教材外，其他版本教材探索活动的设计仅仅停留在机械式操作的层面，没有与已经学过的“两点之间所有连线中，线段最短”联系起来，不能够促进学生积极动脑思考，探究过程的思维含量太低。其实，为了让学生应用已学知识积极动脑探究，一些机械式的操作都可以不要，这样还能节省时间，提高教学效率。

综上，探索活动偏重于机械式的操作活动的设计，有浮于表面和流于形式之感，这也是现行教材中存在的较为普遍的现象。这样的探究缺乏对探究对象实质的深入揭示，缺乏对探究对象含义的深入挖掘，更不能促进学生动脑思考，何谈开发学生的潜能？其实，建立在学生已有知识经验的基础上的活动，让学生通过积极动脑进行探究比机械式的操作探究更为重要。因为，这不仅能促进学生养成动脑习惯，发展其思维能力，还可促进学生对知识实质的把握与内化。希望以促进学生动脑为主的探索设计更多地出现在教材或课堂教学中。

（责编 金铃）