关于教材中三角形有关内容探索活动的设计研究（二）

刘宪升

[摘要]从提出猜想和验证猜想两方面，比较分析了各版本教材中关于三角形的内角和探索活动设计的优点与不足，提出了相应的教材编写建议，及避免探索活动变成机械式操作活动和提高思维含量的建议。

[关键词]三角形;内角和;猜想;验证

[中图分类号]G623.5

[文献标识码]A

[文章编号]1007-9068（2020）32-0008-04

“三角形内角和等于180°”是欧氏几何第五公设的等价命题，在几何发展史上具有重要的地位。各版本教材在编写该内容时都贯彻了新课改的教育理念，力求展现知识的形成过程，注重探索活动的设计。综观各版本教材，沪教版教材没有该知识点，这个内容放到了初中教材;其他版本教材都将其放到了四年级第二学期，且都设计了操作性的探索活动。本文就对教材中设计的探索活动做一比较分析。

研读并分析各版本教材中设计的探索活动后发现，它们大都体现了科学探究的过程。下面就从提出三角形内角和的猜想和验证猜想两个方面进行比较分析。

一、提出猜想的设计比较分析

各版本教材中提出三角形内角和猜想的设计，既有相同之处，又各具特色，主要有以下几种。

1.提出问题——测量-猜想

有些教材是先提出“三角形内角和是多少度”的问题，再让学生测量三角形的三个内角并求和，然后提出猜想。例如，人教版教材（68页;图1）、青岛版教材（38页;图2）、北师大版教材（24页;图3）都是这样设计的，但设计还是略有区别。具体地说，在提出问题（北师大版教材提得间接一些）后，人教版教材和青岛版教材都是要求测量几个不同类型三角形的三个角并求和，属于对各类型三角形的完全归纳;而北师大版教材让学生测量自己准备的一个三角形的三个角并求和，这有可能出现特殊情况：学生为了方便，往往比对着三角板画三角形，得到的都是直角三角形，虽然在表格中设了“三角形的形状”一栏，但学生会看成是判断自己所画三角形的形状，认为不一定非得考察不同类型的三角形。值得指出的是，青岛版教材和北师大版教材中把测量结果进行列表对比的设计，对帮助学生发现问题及提出猜想还是很有意义的。

可见，这三个版本教材的设计都有点偏重测量操作，课堂可能热热闹闹，但教学效率和效果都值得思考。因为，学生自己画的三角形的三个角，有可能出现不是整度数和测量误差的问题，导致三个内角之和并不一定等于180°，若非教师引导，学生不一定能提出猜想。更重要的是，探究的思维含量不足，忽视了“探究的关键是大脑积极思考的活动，而非动手操作活动”。

2.提出问题——考察特殊情况-猜想

有些教材是先提出問题，再让学生考察特殊三角形的三个内角并求和，进而提出猜想。这样编写的教材有苏教版教材、西师大版教材和冀教版教材，但编写的过程又有差异，具体如下。

西师大版教材（37页;图4）和苏教版教材（78页;图5）都先提出了三角形内角和是多少度的问题，进而引导学生从熟知的、特殊的三角板出发得出三角形内角和等于180°读的结论，再由特殊到一般进行推广，提出猜想;而苏教版教材只是隐含而没有明确提出。

冀教版教材（36页;图6）是从猜测等腰三角形（精心设计了三个角的度数）和等边三角形角的特点出发，再测量验证，得出“副产品”——三个角的和是180。，隐含着由特殊到一般的思想。

这三个版本教材中的设计有一定思维含量，体现了“提出问题，由特殊情况出发思考问题，进而提出猜想、验证猜想”的一种科学探究模式，渗透了由特殊到一般的科学发现方法和哲学思想。

浙教版教材的设计也属于这一类。由图7（76页）可以看出，通过移动△ABC的顶点A，让学生在观察三个内角变化的基础上进行猜想，即“将A点运动到接近BC边或落在BC边上时，∠B、∠C接近或等于0°，∠A接近或等于180°”，进而提出猜想;或将A点逐渐远离BC边运动到无穷远处时，∠B、∠C接近于90°，∠A接近于0°。这种极端特殊情况或极限位置，渗透了极限思想，比较前卫，思维含量较高，但学生受制于能力发展水平，获得猜想可能有一定的难度。

综合上述分析，关于三角形内角和猜想提出的探究设计，不同教材的设计各有千秋，但也都存在操作活动为主的不足，还有待改善。尤其需要指出的是，除冀教版教材外，“三角形内角和是多少度”问题的提出都犹如从天而降，学生要做的就是测量求和，进而提出所谓的“猜想”。可问题是怎么来的？教材在这方面需要完善。因为，提出问题才是创新的起点，才是进行科学探究的起点。

二、关于三角形内角和验证方法的比较分析

上述教材中设计的探索活动，不仅有提出猜想的过程，还有验证猜想进而获得结论的过程，整个过程还是比较完整的。关于三角形内角和的验证，教材一般有两种方法——测量验证和拼角验证，而拼角验证又有不同的拼法。

1.测量三角形内角并求和的验证方法

通过测量三角形内角并求和验证的教材有西师大版教材（图4）、苏教版教材（图5）、冀教版教材（图6）、浙教版教材（图7），这是基于由特殊到一般的提出猜想的过程而设计的。苏教版教材让学生剪下教材附页中的三种不同类型的三角形进行测量验证，属于对不同类型的三角形的完全归纳。西师大版教材则是让学生测量几个三角形后进行验证;冀教版教材则是让学生任意画一个三角形后测量验证，这两个版本教材的设计有可能出现不完全归纳情况，不能全面考察不同类型的三角形。另外，学生通过这种验证方法得出来的是近似值，验证效果欠佳，应该属于进一步巩固猜想或增加猜想成立可能性的先期检验。

2.剪（撕）三角形的角拼成平角的验证方法

对于剪（撕）三角形的角拼成平角的验证方法，从人教版教材（图1）、西师大版教材（图4）中的语言和图形展示可看出，它们都是把角剪下来再拼，且人教版教材是剪下三个角，西师大版教材没说剪几个。而北师大版教材（图3）、浙教版教材（图7）、苏教版教材（79页;图8）、冀教版教材（37页;图9），从语言和图形展示可看出，它们都是把角撕下来，且除苏教版教材看不出撕下几个角，冀教版教材是撕下两个角外，其他版本教材都是撕下三个角。再者，冀教版教材给出了三种不同类型的三角形让学生验证，其他版本教材只验证了一种类型的三角形。