“数学广角”的深度教学意蕴

刘丽佳

（福建师范大学 教育学院,福建 福州 350100）

数学广角是小学数学教材中的一个特色板块，是人教版教材为落实新课程标准理念而进行的新尝试。数学广角单元的选材包括部分数学经典名题和大量数学中的基本问题、手段和原理，力求通过贴近生活的实例，引导学生在探究、发现、证明数学方法的过程中掌握内隐于数学问题中的思维规律和数学思想，积累学生的数学活动经验，发展学生的数学思维，为解决更复杂的数学问题奠下思想基础[1]。数学广角的相对独立性和偏重数学思考的特点赋予了数学广角丰富的课程价值和育人价值，但这些深层价值尚未被完全发掘，在实际教学中常常被忽视，亟待教师与学生通过多种方式去深入探索与学习。

一、“数学广角”的深层价值探析

数学广角的目的在于落实新的数学教育追求，把数学广角简单地理解为数学解题策略的拓展是对数学广角课程价值的忽视，把握数学思想与文化已逐渐成为数学广角的重要教学内涵。

（一）数学广角是培养数学思想的载体

数学广角中贴近生活、贴近实际的案例，将抽象的数学思想方法呈现出来，让学生经历“观察、操作、猜想”等数学活动，感受和体会运用数学思想方法和策略解决问题的有效性，培养学生运用数学思想方法解决问题的意识和能力，有步骤地向学生渗透数学思想。通过认真分析和对比可以发现，数学广角每一主题内容都包含一种或多种数学思想。如“搭配问题”中的抽象思想和推理思想，“植树问题”中的抽象思想、推理思想和模型思想。这些数学基本思想是揭示数学本质，奠定数学学科基石的源泉。

（二）数学广角是培育核心素养的温床

数学核心素养是指数学学科的思维品质和关键能力。数学这门学科的价值就是教会学生如何思维，如何思考问题。史宁中教授曾说过，素养的形成不能依赖单纯的课堂教学，而是依赖学生积极地参与数学活动，依赖学生的自我感悟与思考，素养是日积月累的自我思考和经验的成果[2]。“核心素养”不是由教师直接教出来的，而是在问题情境中借助问题解决的实践培育起来的[3]。数学广角贴近实际、贴近生活，以问题贯穿整个学习过程，解决问题是数学广角的核心，数学广角是培育数学核心素养的温床。

（三）数学广角是传承数学文化的工具

数学本身就是一种文化，小学数学教材中的内容、思想、方法和语言都是现代文明的重要组成部分。数学学科中的演绎论证思维模式，在整个人类文化中具有独特地位和特殊的文化价值。数学广角引用了大量的数学经典问题，这些经典例题不仅比常规数学知识有更丰富的背景知识，而且其中缜密的论证，奇特的构思和推理一起构成了数学广角的文化特质[4]。同时，数学文化也能够培养人的精密思维能力与严谨的逻辑推理能力，为解决数学问题提供文化助力，数学广角与数学文化在教师与学生教与学的过程中，互相生长，互相作用。

（四）数学广角是积累活动经验的场所

数学广角的教学重点并不是机械地公式堆积和解题策略的应用上，而是在抽象的模型建立过程中积累数学活动经验。数学广角每一个主题内容都蕴含丰富的数学活动，如“搭配问题”包含操作、观察、猜想等数学活动，“推理问题”包含操作、观察、猜想等数学活动，“集合问题”包含观察、操作、猜想、推理等数学活动。学生在自主参与这些数学活动的过程中积累相应的数学活动经验，从而发展合情推理能力，感悟演绎推理思想，学会独立思考。

由此可见，数学广角蕴含着许多尚未被挖掘的课程价值与育人价值，这使得数学广角的学习方式和教学方式都必须深度化。

二、“数学广角”的深度学习意蕴

数学广角相对于常规的数学知识更具有挑战性、新颖性。若想把握其本质，学生就必须要深度投入到课堂中，通过多种形式参与到知识建构中。

（一）深度理解，促进认知生成

“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这是数学广角中经典的数学问题，学生往往需要时间参与到关键信息提取，模型建立的过程中，才能真正理解问题的意图与指向[5]。当然，数学理解不仅仅是数学知识的概念、意义、价值的领悟，更是指数学的逻辑结构与学生的知识结构相融合的过程。数学广角的内容安排呈现出螺旋上升、逐级递进的趋势，从简单的分类思想到较为抽象的运筹思想、对策论之间都有着千丝万缕的联系，学生有效的理解才能顺利开展深度学习。学生要尝试从多个角度、多个层面理解知识的不同层面、不同意义，促进自我的数学发现与创造。

（二）深度参与，促进认知建构

学生要深度参与到问题的探究过程中，这里不仅仅是要求学生的行动积极参与，更要求学生的经验、情感、思维、想像都深度卷入到课堂教学中[6]。学生不仅要通过观察、理解情境图中要解决的问题，经历知识的形成过程，通过独立思考、操作，小组讨论交流等活动将静态的知识激活，将符号化的知识打开，还要通过对知识的整合与重构、思维的活跃与联动以及知识的迁移与运用，积极参与到课堂中，才能感受到数学学习的乐趣和价值，才能体验到数学知识的丰富内涵和意义。

（三）深度拓展，促进知识运用

只有当知识和技能在复杂的情境中，通过解决实际问题时所形成的知识和能力，才是真正属于学生的。数学广角的解题过程中学生往往不能一眼就看出问题情境中的解题原理，要找到问题中的具体情境和“一般化模型”之间的内在联系并非易事。这不仅要求学生能正确理解所学知识的内涵和外延，还需要具备熟练的知识迁移能力和丰富的生活背景。因此，教师的教与学生的学都不能局限于课堂问题的解决，学生不仅要以数学知识为起点，以生活为背景，积极主动地将问题解决的思路拓展到生活情境中，而且要学会以数学的眼光看待生活，不断拓展自己的视野，尝试提炼出生活中的数学问题。

（四）深度反思，促进思维发展

小学阶段是学生思维发展的关键时期，反思性学习则是培养学生数学思维的良好途径。学生学习并不是一个被动接受的过程，而是主动建构并不断完善自身知识结构的过程。这就要求学生不断地反思自己的学习过程与策略，并基于反思结果调整自己的学习行为、思维等，促使自我的数学学习走向深度[6]。学生深度反思是对数学认知的再认知，是认知的拓展、延伸。“数学广角”因具有较强的思维性，解题策略具有较强的逻辑性，在学习后反思自己的思维过程和解题策略更有利于学生数学思维的深度发展。因此，要有意识地培养自我反思的习惯，增强自我反思能力，让自我反思逐步趋向深度。

三、“数学广角”的深度教学策略

深度学习的发生依赖教师的深度教学，要把数学广角的价值真正落实到课堂教学中，落实到学生的学习方式和教师的教学方式的深刻变革中，就必须从“深度学习”走向“深度教学”，这样才能把数学广角中抽象的数学思想、核心素养变成一个看得见、摸得着的行动。

（一）加强联结，深化学生的经验

深度学习不仅要把握数学知识的内在本质，更要洞察数学知识之间的联系。教学中，教师要搭桥引线，引导学生主动联结，集成数学知识块、知识网，建构知识结构、知识体系[2]。在课堂教学活动中，教师要加强学生知识结构之间的联结，以学生已有的知识经验作为基点，和新知建立起有意义的深度联结，使学生的经验能够更丰富，更科学。

学生的知识结构是在数学学习的过程中建构起来的，看似独立的知识、思维和观念之间都存在着联结。教师在设计课堂教学时可以通过创设相似的教学情境、以数学本源性问题为起点、关注数学概念之间的同化等教学方式，从知识之间发现数学的本质和核心意义，从而促成教学内容和学生经验的相互转化，关联学生经验、运用学生经验，促进学生的联结思维向纵深发展。

（二）自主探究，深化学生体验

数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要标志。数学思想感悟离不开教师的指引和讲解，但教师不能只是单纯地教授课本上的教学内容，而是要有针对性地对内容进行拓展和引申，在充分的课堂时间和自由度的保证下，鼓励学生在学习过程中深入探究，积累数学活动经验，在活动中提升思维水平，对数学思想方法进行抽象和概括。

数学活动不再停留在表面，而是挖掘出其本位价值，就要促使学生对生活中类似问题进行拓展和迁移。比如在“植树问题”一课中，教师可以广泛地拓展植树问题的变式以总结“化归思想”的本质，如装路灯问题、上楼梯问题、锯木头问题、排队问题等。学生在这样的类似问题的解决中应用和感悟植树问题的思想方法，将数学课堂上学生的数学活动进一步深化到数学思想的感悟中。

（三）润泽氛围，深化学生的情感

“数学广角”的内容与实际生活紧密相连，往往蕴含着丰富的价值和意趣。实际课堂中不能只限于数学知识的学习而忽略了学生情感的引导，学生不仅需要知识的养分，也需要情感的润泽。教师在教学中要充分利用自身的情感因素和教材内含的情感成分，通过营造和谐相融的氛围，促使学生在学习过程中得到思想情感的升华，将情感因素和智力因素统一起来，使学生感受到数学情感的润泽[7]。

数学广角知识的产生、发展、运用总是蕴含在一定的情境中，教师在实际教学中通过设计情境还原和模拟知识的产生过程，从而激发学生的学习兴趣和内在的思维活动，引起学生的情感共鸣[8]。例如在“排列组合”这一课中引导学生分小组站队；在“找次品”中让学生找一找生活中物品的次品，在“打电话”中情境扮演如何最快地通知……在这样学生兴趣盎然，思维活跃的课堂上，教学有意识地创设情境和组织学生进行情感交流，能更深入地感受到数学的神奇和魅力。

（四）实践应用，深化学生的能力

数学深度学习过程是学生“生命实践”智慧生长的过程。数学来源于生活，也应用于生活，数学广角是培养学生应用意识很好的载体[9]。在教学过程中，教师不仅要将数学广角中抽象出来的符号化的数学知识具体化、实践化，利用数学中的概念、原理去帮助学生解释、解决现实世界中的现象和问题，还要引导学生将现实生活中大量的数量与图形的问题抽象为数学问题，用数学的方法与思维去解决。

在数学广角的教学内容领域，蕴含了大量值得深度挖掘用以提升学生能力的数学信息。比如在“编码”这一课中学习身份证编码的意义，领悟了编码的数学思想，通过反思这些编码的特点，可以体会编码在生活中的实际运用价值。教师通过引导学生参与“给自己编个性学号”“用身份证号码破案的奥秘”“宾馆房间编码的秘密”等活动的反复实践，让学生感受数字编码的思想方法和生活中的实践运用价值，并在以后遇到类似问题时能主动运用数学思想，提高解决数学问题的能力。

综上所述，数学广角不仅仅是普遍认知上的数学思想方法的载体，而且也蕴含着培育学生的核心素养和传承数学文化、积累活动经验的重要价值。作为学生，要在深度理解问题指向的基础上，对问题解决的过程深度参与并主动拓展和应用，同时反思自己的学习过程，从而实现思维的提升。当然，要达到这个目标离不开教师的引领。课堂上教师对知识的合理衔接，活动的有效引领，课堂氛围的有效调控，都能使课堂教学的每一个活动都落到实处。只有教师的教与学生的学都趋向深度，才能挖掘出数学广角丰富的课程价值和育人价值。