核心素养视野下一道中考压轴题的分析与启示

◎ 成鸣娟

中考数学压轴题综合性强，涉及的知识点多，对不同水平的学生进行区分和选拔，在中考中举足轻重。笔者针对陕西省2017数学中考题25题略谈粗浅认识，不当之处请指正。

一、试题呈现

(2017年陕西数学中考题第25题)

问题提出

1.如图1，△ABC是等边三角形，AB=12。若点O是△ABC的内心，则OA的长为_______。

问题探究

2.如图2，在矩形ABCD中，AB=12，AD=18。如果点P是AD边上一点，且AP=3，那么BC边上是否存在一点Q，使得线段PQ将矩形ABCD的面积平分？若存在，求出PQ的长；若不存在，请说明理由。

问题解决

3.某城市街角有一草坪，草坪是由△ABM草地和弦AB与其所对的劣弧围成的草地组成，如图3所示。管理员王师傅在M处的水管上安装了一喷灌龙头，以后他想只用喷灌龙头来给这块草坪浇水，并且在用喷灌龙头浇水时，既要能确保草坪的每个角落都能浇上水，又能节约用水。于是，他让主喷灌龙头的转角正好等于∠AMB(即每次喷灌时喷灌龙头由MA转到MB，然后再转回，这样往复喷灌)，同时，再合理设计好喷灌龙头喷水的射程就可以了。如图3，已测出AB=24m，MB=10m，△ABM的面积为96m2；过弦AB的中点D作DE⊥AB交弧AB于点E，又测得DE=8m。

请根据以上提供的信息，帮助王师傅计算喷灌龙头射程至少多少米时，才能实现他的想法？为什么(结果保留根号或精确到0.01米)？

图1

图2

图3

二、解题过程分析

第1 问：考查等边三角形的内心，构造直角三角形，应用勾股定理解得：

图4

第2问：如图4：

连接AC、BD相交于点O，连接PO并延长交BC于点Q。则线段PQ将矩形ABCD的面积平分。

∵点O为矩形ABCD的对称中心，CQ=AP=3。过点P作PM⊥BC于点

点评：考查平行四边形的中心对称是典型的面积平分问题，以往平分面积是定性分析，而这道题是定量计算，在这一细节上稍提升难度，高于平时练习。

第3问：如图5，作射线ED，

图5

∵AD=BD，ED⊥AB，弧AB为劣弧，∴弧AB所在圆的圆心在射线ED上。

假设圆心为O，半径为r，连接OA，则r2=122+(r-8)2，

解得：r=13，∴OD=5。

过点M作MN⊥AB物N，

∵SΔABM=96，AB=24，∴MN=8，NB=6，AN=18，

∵△ADC～ΔANM，∴

∴O在ΔAMB内部。

连接MO并延长交弧AB于点F，则MF为草坪上的点到M的最大距离。

在弧AB上任取一异于点F的点G，连接GO、GM，

∴MF=FO+OM=GO+OM＞GM.

过O作OH⊥MN，垂足为H，则OH=DN=6，MH=3。

∴MF=MO+r=

点评：第3问的基本思路：一找二算。对于如1、2问之后，自然在解法思路上有一些相通之处，提炼出前两问的共同之处，关键的线段都和中心点(内心或对称中心)有关系，于是第3问，联想到利用圆心找最短距离。最短距离是直径的一部分，这样思路就打开了。在最短距离的计算中，前两问共同之处用到了勾股定理，那么第3问能否应用勾股定理解决.如何计算最短距离，圆中计算，基本量就是半径r，如此解题思路便越来越清晰。本题要用到勾股定理、相似三角形、等面积法等知识，综合性强，体现了中考命题原则中的“选拔”。

本题前两问考查基础知识和基本技能，关注不同学生的学习状况。第3问有一定难度，渗透考查数学基本思想：数学抽象、逻辑推理、数学建模，是核心素养中最重要的数学思维品质。在计算最短距离中考查了数学运算、直观想象。

作为压轴题，该题区别于前几年陕西的25题，以往以纯数学知识为载体进行考察，而该题以实际问题为背景，学生首先要能将实际问题转化为数学问题：要能找到“喷灌龙头最短射程就是线段FM的长度”，这是该题的难点，也是题目的创新之处。导向到对数学应用能力和意识的培养上，立意新数学味道浓厚且具生活气息，有较高的区分度。对深化数学课程改革有很好的引领作用，是本次试题的亮点。

三、教学启示

中考数学试题一方面检测学生的学习情况，另一方面指导教师的数学教学。通过分析该题目，笔者对初中数学教学提出以下建议。

1.树立模型意识，提高问题解决能力

本题一改往年陕西25题的纯数学背景，立足民生，以城市街角的草坪灌溉为背景，综合初中数学知识设计问题。考查“从实际问题中抽象出数学模型”的能力，这一导向体现了学习的最终目的，即服务于生活，也是对数学核心素养的落实。

每年中考试题有一部分题目，虽然题型和考查方式较为固定，学生也练习过大量的类型题，但这些题依然丢分，比如三角函数、相似三角形、一次函数等相关的应用题。如果以其他数学知识作为载体设计实际问题，或对常规应用题进行变动，学生的得分率会更低，说明学生解决实际问题能力较弱，问题解决能力需要提高。

中考是初中教学的指挥棒，特别是中考压轴题，一定程度引导着教师的教和学生的学。本题旨在提醒一线数学教育者应适当调整教学比重，不仅要关注纯数学问题的求解，还应注重数学应用，帮助学生树立数学应用意识。在日常教学中，注重引导学生了解数学概念产生的背景，针对每一个知识点，尽可能创造生活情境，引导学生提炼数学知识，整合数学信息，在解决实际问题的教学中提高应用数学的能力，最终提高数学建模能力。

2.渗透数学思想，发展数学核心素养

数学核心素养是保障数学学科育人的关键，是在数学知识技能的学习过程中形成的，是在渗透数学思想中发展的。《普通高中数学课程标准》明确提出了六大核心素养，即数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。数学抽象、逻辑推理、数学建模反映的是数学基本思想，也是最基本的素养。

教师在教学中引导学生反思解题过程，理解和掌握数学思想方法，关注知识的发生和发展过程，注重解题的思路来源，加强变式训练，促进数学思想方法的内化。一题多解，多题归一，引导学生抽象出数学本质，提炼出数学思想。在复习课教学中，设置数学思想专题课，用数学思想统领全局，引导学生体会同一个数学思想在不同知识点、不同方法中是如何渗透的，从而提高学生的数学思维品质，发展数学核心素养，获得良好的数学教育。