借助对应思想深度教学“鸡兔同笼”问题的策略

李林婧

（文山学院 教育科学学院，云南 文山 663099）

“鸡兔同笼”问题是中国古代数学的名题，因它蕴含着丰富的数学思想和各式的解题技巧而在各国数学竞赛和中国各个版本中、小学数学教材中占有重要地位。但是教材出现了，教师教学了，学生们就学懂了吗？

基于人教版教材，对文山市市中心的小学和城郊的农村寄宿制小学的教师进行访谈了解到：市中心的小学生四年级下学期学习该问题的算术解法。其中，市区小学生初学时大约10%的学生能够深刻理解题目内涵；60%的学生能够在不太理解问题的情况下套用公式把题目解出来；30%的学生不太会解决此类问题，直到五年级上学期应用方程法才基本能够理解并解决此问题。郊区农村小学生在小学六年级能够有80%左右的学生会用方程思想解决此问题。至于算术方法的解题策略，尽管以往教学经验中教师也有涉及过，但是学生难于理解，如因课时紧张有的教师便会略过算术解法直接讲述方程解法。通过访谈学生算术解题的困难时了解到：在算术解题过程中无法完全弄清动物数量和腿总数之间的关系，当数字较大时也无法估算，尝试几次就自我放弃了；学习列表法时受40分钟课时限制，只能费劲地进行数字猜想、计算，而很少顾及思考数量间的关系，碰到数据大时使用此法非常不便；谈及“鸡兔同笼”的价值时，大部分学生局限于可以套用公式，认为不需要理解解题原理只要会计算出结果即可。

诸如此类现象表明：在面对“鸡兔同笼”问题时，学生“缺乏必要的数学方法和解决路径，也很难与已有的知识结构建立联系”[1]。学生解决问题的能力停留表面不能或者很难深入，生活中碰到类似问题依然没有头绪。大多数学生还是停留在应试教育水平，这与教材编写的初衷是违背的，也不利于学生数学思维的长期发展。因此，值得对该问题的有效教学、数学思维的渗透形式做一番思考。

1 人教版教材关于“鸡兔同笼”问题的编写意图

“鸡兔同笼”问题是人教版四年级下册的数学广角板块内容。它尝试通过学生熟悉、生动有趣的生活问题逐步渗透一些重要而有用的数学思想方法，潜移默化地转化为解决问题的思维方式。要求教师引导学生使用不同的算术方法解决此类问题，感知“鸡兔同笼”的趣味性，增强学生的逻辑推理能力，为五年级上册学习方程时找到数量间的等量关系、建立模型意识打下基础。

2 “鸡兔同笼”课堂教学中的问题分析与建议

2011版课程标准的课程基本理念中提出了：“课程内容不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法。课程内容……有利于学生体验与理解、思考与探索。课程内容的组织要重视过程，处理好过程与结果的关系。……课程内容的呈现应注意层次性和多样性。”[2]这表明教材中出现“鸡兔同笼”问题，是借助此问题发散思维，让学生用不同的数学思维方法体验数学的趣味性。重点在于过程性的领悟而非解题技能的训练，但在很多的“鸡兔同笼”课堂教学中常出现一些现象：

2.1 一味追求难度，教学目标定位过高

“鸡兔同笼”问题在原来的教科书中只出现于奥数教材，对于初次接触该问题的学生需要多接触基础题型。对问题以及思维方式进行摸索，需要一个逐渐理解与适应的过程。但实际教学尤其是公开课中，教师喜欢不断拔高难度、挖掘深度，这容易使学生产生畏难情绪。

因此教师备课时应注意分析学情，忌讳教学定位过高而变成解题技能训练、难题训练以及在学生没有完全理解解题原理情况下给出题型的变式。建议把教学内容分为两个课时，第一课时解决数据不复杂的基本题型，主要让学生通过数形结合的方法理解题意，领悟对应思想以及在此思想指导下的假设法。第一课时后的家庭作业以及第二课时，再考虑涉及问题变式、拔高难度的问题和解决此问题的其它方法。

2.2 停留于直观操作，忽视思维渗透

“鸡兔同笼”问题的解法多样，有假设法、方程法、列表法、画图法、面积法和一些其他的特殊解法。教材希望学生掌握不同的方法解决问题，教师们常选择两种或以上的方法教学[3]，却也在教学中产生了一些问题。一方面，同一课时中第一种方法未消化完第二种方法接踵而至，学生在几种解题方法之间因为无法建立联系，导致方法混淆或不易接受，同时也滋生了畏难情绪丧失了学习趣味性。另一方面，为了保证在内容上讲授多种方法的完整性，学生较多停留在按照教师指令直观操作上，思考的时间不够导致直观上升到抽象的环节是茫然的，继而如果教师在提炼结论过程中过于直接，便造成大部分学生生搬硬套公式做练习，在重复中体会内容这样的低效或无效方式也缺乏主动性，更鲜有学生能够体会到其中的思想方法了。

有效的教学活动是学生学与教师教的统一，只有师生都主动参与，交往式的互动才能达成。教学内容的完成并不代表教学目标的实现，建议教师多考虑学生在40分钟的接受能力，不要急于灌输所有能够解决“鸡兔同笼”的解题技能，更不能只注重技能训练而忽略学生对方法的理解与领悟。因为学生在一个课时上仅能真正充分领悟和掌握1至2种重要的方法。经历第一课时深度学习后，对问题的理解、领悟能力提升，解决问题的成就感便能提起研究的兴趣，其它方法可以在家庭作业中进行设计与引导。如将其它方法先通过家庭作业的形式让学生在时间充裕的条件下先进行过独立思考，教师在第二个课时讲解作业过程中帮助学生进一步对其补充认识与提升理解。

2.3 未从学生解题角度考虑教法

教师仅停留在学生能“把题目做出来”这一层面上的要求，而从学生数学能力的提升来看，这样的要求是远远不够的。学生没有理解原理会缺少灵活性，照搬方法也培养不出创新能力。因此，教师自身应该通过大量的深度解题建立起较为清晰的解题思路，从解题中体验思维的乐趣、感受学生解题的难点环节[4]。再仔细思考学生思维形成的过程，梳理解题路径，思考各种方法之间的联系并对应衔接于教学。“磨题”后可以进一步通过教师间的交流研讨、借助对学生的访谈与调查，以学生解题角度设计教学。通过以上准备，选择好适合学生个性特征的教学方法和辅导策略，也为进一步地分层教学、分层次作业打下了基础。

3 以对应思想为指导的“鸡兔同笼”教学策略

教师的教法应基于学生的生活经验与思维水平，四年级的学生正处于对“守恒”认识的发展阶段，逆向思维的认识和理解也不够充分（从大部分学生不理解假设法可看出）。因此“鸡兔同笼”教学过程应有效地引导学生从顺向思维平稳过渡到逆向思维。只有充分接近学生最近发展区，学生才能深入理解原理进而迁延应用。

在实际教学中，大部分教师主要使用列表法和假设法来完成新授课。列表法（枚举思想）虽简单直接，学生反复练习并注意总结就能得到一定经验。但在问题的数据较大时有必要选择跳跃枚举。如果课堂上教师在列表法学习中预留时间不够，学生学习会比较被动，预留太多又影响其他方法的介绍。另外，列表法与假设法之间没有明显的思想和方法的联系不能更多地起到承上启下、过渡衔接的作用。笔者认为列表法更适宜在新授课后对“鸡兔同笼”有一定了解基础上以课外作业形式展开，这样学生可以多留一些时间计算和思考。假设法（假设思想）的理解需要一定的逆向思维，小学生作为初学者接受困难，需要在对“鸡兔同笼”问题头数与腿数间的对应关系有一定认识的基础上再学习。因此，以人教版小学数学教材为例，对四年级下册数学广角单元“鸡兔同笼”问题，以对应思想为指导的算术解法做了一个两课时的教学设计以供参考。

3.1 从画图法到假设法的自然过渡

生动有趣的生活事例是数学广角创设情景的最好素材，激活了学生的生活经验就能牢牢吸引住学生。因此，课堂导入部分可以从创设一些简单数据的问题情景开始，由易到难、从扶到放。例如充分借助多媒体展示学生喜欢的动物图片创设情境：一只鸡的图片并附括号填写几条腿，五只鸡的图片并附括号填写几条腿并写出计算方法；一只兔子图片下边括号填写几条腿；把刚才图片中的五只鸡中的三只换成兔子并用栅栏围起来看不见脚，请学生计算一下有几条腿，并谈谈有几种计算方法。此部分内容属于顺向思维，“知头算腿”的具体问题学生容易理解，但需要尝试让学生画图再次“对应”理解两只鸡、三只兔的总的腿数的不同计算方法：分别计算法、加腿法、减腿法。通过画图讨论，旨在让学生进一步理解鸡、兔的总数与总的腿数的关系有三种表示方法，并尝试让学生对应图形解释三种算法的数学关系式：总的腿数＝鸡的数量×2+兔的数量×4；总的腿数＝鸡兔总数量×2+少算了的兔的腿数，“少算的兔腿即：（兔腿数/只-鸡腿数/只）×兔数量”；总的腿数＝鸡兔总数量×4-多算了的鸡腿数，“多算了的鸡腿数即：（兔腿数/只-鸡腿数/只）×鸡数量”。

通过两次具体问题到抽象对应关系的理解，学生开始对动物数量与腿的数量的对应关系有一定理解。转而将问题改换为“鸡和兔子一共5只，有16条腿，会有几只鸡几只兔”。这个时候从顺向思维到逆向思维产生了一个过渡，教师可以提示学生运用刚才的画图法帮助理解，如图2。这样数形结合的方式，借助于形象的图形来解题，对于初次接触“鸡兔同笼”问题的学生来说，不仅学得有趣、简单，而且能加深学生对用假设法解题的理解，发展学生的思维能力[5]。在学生画图法的练习过程中，教师从旁追问“都看做鸡以后腿还不够，少算了几条，你是如何知道的？一共需要再分给几个头，能列出算式吗”等类似的问题，学生进入假设法的学习与练习也就呼之欲出了。在第一课时小结中帮学生分析画图法与假设法之间的关系为：画图法是针对问题的数形对应表示方法，特点是具体形象易理解；假设法是画图法的数学语言概括，这样的方法虽然抽象但是遇到数据大的问题时比画图法更快地获得结果。

图2 “鸡兔同笼”问题中画图法的增脚法

3.2 分层次的家庭作业让“吃不饱”的学生自主探究

新课改提倡方法多样性，在学生真正理解问题实质的基础上让其自主探究自己喜欢的方式、方法，体验成功的喜悦[6]，更容易发现“鸡兔同笼”之美。因而家庭作业的布置并非是一种解题技巧的强化练习，笔者建议将家庭作业设计为两个层次。

第一个层次的作业是课本上“鸡兔同笼”的基本题型，让学生用自己喜欢的方法计算。由于课堂上更多的是关注学生对假设法的深度理解，而并没有涉及列表法，因此每道解题过程下方再给出列表法的列表，并要求学生通过计算在列表中圈出问题的答案。列表法是一种容易理解的方法，在第一课时深度理解题意基础上不需要教师做过多补充。作业中有充足的时间让学生自主的尝试、经历和不断做出调整，就能够体会到枚举的思想与解决问题的一种策略——列表。以文中所提导入的例题为例为学生设计列表，如表1，空白部分是学生填写的内容，填写完后在表中圈出符合题意的数据即可。最后附上问题“你最喜欢用哪一种方法解决问题，请谈谈为什么”，帮助学生整理与总结，找到适合自己的最优化方法。

表1 列表法解“鸡兔同笼” 问题的作业样表

第二个层次的作业是“鸡兔同笼”的变式问题以及面积法或其它方法解决问题，这部分题目可以将学生按学习能力分组后给出“选做”与“必做”两种方式。这样一方面顾及到了基础薄弱的学生，另一方面解决了一部分学生“吃不饱”的问题。人教版教科书中（如108页的练习二十四第5、6小题）虽然也给出关于该问题的变式题目，但笔者认为变式的类型和数量太少，不利于学生迁延和巩固。此部分作业可以酌情增加，“鸡兔同笼”问题一直很受到世界各地数学爱好者的欢迎，因此出现了不少巧法与妙法，教师应该多关注此类文章，在第二层次的作业安排中不断进行改良，补充一些巧妙的方法，帮助学生开拓思维。以文中所提导入的例题为例为学生设计引导学习面积法的作业，如图3。

图3 引导学生利用面积法解题的范例

3.3 讨论各种方法间的关系引出潜藏的数学思想方法

第二个课时的学习主要为作业的讲解与方法的补充说明。教师讲解作业时总结了列表法、画图法等方法后可以让学生进行自由讨论。例如喜欢用哪种方法进行解题，为什么？每种方法分别有什么特点？每种方法间是否有一些联系等等……教师也可以利用总结的机会，挖出潜藏于方法中的数学思想，用通俗的语言概括，帮助学生更进一步地了解数学思想在解决问题中的作用，以便今后可以将学习过的数学思想类比应用于其它问题。

总之，对于“鸡兔同笼”的教学，首先教师自身应该多钻研已有的方法，以及已有方法之间的相互联系和进行大量的磨题，做到用教材教而不盲目照搬教材。其次，学生的深度理解来源于教师对其数学思想方法的深度挖掘：“鸡兔同笼”问题的假设法潜藏着对应思想，列表法潜藏着枚举思想，建立公式潜藏着模型思想，面积法潜藏着数形结合思想等。教师应仔细剖析教学中潜藏的数学思想，思索如何利用这些数学思想帮助学生更好的理解题意，如何用浅显易懂的数学语言将方法总结给学生。最后，注意加强对作业布置中如题目难易程度、解法多样性与学生的分层次性安排等问题的思考，增强各类学生数学学习的兴趣和自信心。