中学数学常见的几种数学思想及其应用

叶文婷 赵继源 林卉

[摘 要]数学思想是数学本质的体现，是数学活的灵魂.文章主要探讨中学数学常见的几种数学思想，如数形结合思想、函数思想、方程思想、分类讨论思想，每种思想都结合题目一一进行分析.

[关键词]数学思想 ;数形结合思想;函数思想;方程思想;分类讨论思想

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2020）29-0011-03

数学思想是数学学科的精髓，也是数学本质的体现和揭示，更是数学学科育人的核心内容.数学思想可以帮助学生理解数学知识，解决数学问题，提升学生的数学学习能力.中学数学常见的几种数学思想有数形结合思想、方程思想、函数思想、分类讨论思想.本文主要探讨这几种常见的数学思想及其应用.

一、数形结合思想

许多数量关系方面的抽象概念和解析式，一旦赋予几何的意义，往往就会变得非常的直观形象，并且使得一些关系明朗化、简单化;而一些图形的性质，又可以赋予数量意义，寻找恰当表达问题的关系式，即可以使几何的问题代数化，以数助形，用代数的方法使得问题得到解决.数形结合思想的实质就是将抽象的数学语言与直观图形结合起来.

数形结合主要可分为两大块：以形助数和以数解形.

1.以形助数

以形助数是将代数转化为直观形象的图形，借助图形的性质来解决代数问题.根据图形的不同还可以分为借助数轴解决代数问题、借助函数图像解决代数问题、借助几何图形解决代数问题、借助坐标系解决代数问题.

2.以数解形

以数解形是借助数的精确性来阐明图形的某些属性.认真分析图形的几何特征，确定几何图形转化数字的步骤，将图形信息转化成数字信息，建立数与形的转化关系.分析初中数学的常考内容，发现可把“以数解形”分为借助方程解决几何问题、借助不等式解决几何问题、借助函数解决几何问题.

二、函数思想

函数思想，是运用函数的概念及其性质研究、解决数学问题的一种思维方式.即利用题目中所给的已知量和未知量之间的关联性，列出相应的函数关系式，然后运用函数的性质进行分析，最终解决问题.根据函数的概念和性质，对函数思想做了简单的分类，有确定函数解析式、函数的应用、利用函数的性质求最值、几何中最值问题的求法.

[例4]2010年1月1日，全球第三自贸区——中国—东盟自由贸易区正式成立，标志着该贸易区开始步入“零关税”时代，广西某民营边贸公司要把240吨白砂糖运往东盟某国A、B两地，现用大、小两种货车共20辆，恰好能一次性装完这批白砂糖，已知这两种货车的载重量分别为15吨/辆和10吨/辆，运往A地的运费为：大车630元/辆，小车420元/辆;运往B地的运费为：大车750元/辆，小车550元/辆.

（1）求这两种货车各用多少辆.

（2）如果安排10辆货车前往A地，其余货车前往B地，且运往A地的白砂糖不少于115吨，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少的总运费.

分析：运用函数思想来解决最值问题.解决第一问的关键就是要找出题目中的已知量和未知量之间的关联性，列出函数的表达式.分析题目可知，大、小货车共20辆和运输240吨白砂糖，可列出表达式求解;第二问可在第一问的基础上，设出最少运费为W，再设出调往A地的大车为[a]辆，小车为[10-a]辆，进而求出调往B地的大、小车数量，再根据题目所给的条件列出关于W的表达式，可得W为一次函数，根据函数的性质求出最值.

故应该安排3辆大车和7辆小车前往A地，安排5辆大车和5辆小车前往B地，最少的运费为11330元.

三、方程思想

方程思想是指用方程的方法解决数学问题的思想.即通过分析数学问题中已知量和未知量之间的关系，列出等量关系式，继而设元，从而建构方程（组），最终通过求解方程（组）来解决问题.

【例5】《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉，在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图4所示，已知：锯口深为1寸，锯道[AB=1]尺（1尺=10寸），则该圆材的直径为______ 寸.

分析：本题考查的内容有垂径定理、勾股定理等，解题的关键在于添加辅助线和学会利用参数构建方程.连接直径和半径构造出直角三角形，再根据直角三角形的三边关系列出方程，再求解方程即可.

四、分類讨论思想

分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答.分类讨论可将复杂的问题分解为若干个简单问题，还从一定程度上避免了漏解.从整体上看可以分为两大类，数的分类讨论和形的分类讨论，其中形的分类讨论中还可以细分为边的关系分类讨论、边的比值分类讨论、角的关系分类讨论等.

分析：本题考查的是根据新定义进行数的分类，总体上可以分为两大类进行讨论：①当[x>-x]时解答方程，得到[x]的解，再代入方程检验是否满足;②当[x<-x]时，又得到一个方程，再进行解答，然后检验解是否为方程的解，最后再综上所述得到方程的解.解决问题的关键是对括号内的两个数进行分类讨论.

五、小结

数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识，它是数学的灵魂.数学思想在一定程度上指导数学解题.对于初中数学几种常见的思想，教师在日常的教学中必须要有意识地去渗透，潜移默化地将数学思想引入课堂.要做到解题和实例教学相融合，在课堂中用活数学思想，并逐步渗透数学思想，让学生能够感知数学思想的形成，在解决问题时能够运用数学思想;还应该结合学生的认知规律，思考哪个章节的知识点可以对学生进行渗透，怎么样设计教学活动可以让学生更好地理解.例如，前面提到的数形结合思想，教师应时刻提醒学生在遇到既有“数”又有“形”时，学会考虑它们之间是否存在一定的关系;教师还应让学生归纳总结出相对应的数学思想，并用于实践.如上述的分类讨论思想，在解决涉及自变量问题的题目时，一般都要对自变量的取值范围进行讨论.除此之外，教师还应做到因材施教、个性培养.每个学生的特点不同，有的对图形比较敏感，有的对数字比较敏感，教师应引导学生在自己擅长的领域深入探索，当然对其他的领域也要加强学习.总而言之，数学思想的学习，不是一朝一夕的事情，它需要教师深入挖掘，站在学生的角度思考问题，去生成教学资源，更需要学生积极地参与教学活动，并能总结不同数学思想的特点.只有师生这样配合，才能够真正地提高教学质量.

[   参   考   文   献   ]

[1]  张雄，李得虎.数学方法论与解题研究[M].2版.北京：高等教育出版社，2013.

[2]  朱兆轩.函数思想在高中数学解题应用中的再思考和实践[J].数学学习与研究，2018（22）：124.

[3]  黎凯.基于方程思想的小学五年级学生数学问题解决能力培养研究[D].安庆：安庆师范大学，2019.

[4]  方志平.分类讨论思想[J].数学教学通讯，2015（Z1）：97-101.

[5]  郭唯一.初中数学教学中如何渗透数学思想方法[J].中国校外教育，2018（29）：110-111.

[6]  黄永高.浅谈初中数学教学如何渗透数学思想方法[J].数学学习与研究，2018（21）：155.

（责任编辑 陈 昕）