一类积分Altman型映象不动点定理及应用

聂 辉，张树义

(渤海大学 数理学院，辽宁 锦州 121013)

关于非阿基米德Menger概率度量空间概念以及在此空间中建立的不动点定理, 文献[1-10]做过研究, 其中文献[9]在此度量空间中建立了Altman型映象的不动点定理；文献[10]在此度量空间中建立了一类平方型映象的不动点定理, 推广了一些文献中的结果。近年来, 文献[11-20]研究了若干类非线性映象不动点的存在性。受上述工作启发, 本文在(Dg)型非阿基米德Menger概率度量空间中建立涉及4个映象并包含文献[9]中的压缩映象为特例的更广泛的一类积分Altman型映象公共不动点的存在性定理, 从而改进和推广了文献[1-20]中的相应结果。作为应用在概率度量空间中讨论了起源于动态规划的一类泛函方程组公共解的存在与唯一性。

1 预备知识

设Z+表示非负整数集。定义H1={H|H:[0,∞)5→[0,∞)，对每一变量是非减的函数，∀t>0,max{H(t,t,t,a1t,a2t)|a1,a2∈Z+,a1+a2=2}=h(t)满足如下(c1)、(c2)和(c3)[21]:

(c1) 00;

注1如果H∈H1, 则h(0)=0，且h(t)=t⟺t=0。

下面给出一些基本概念。

定义1[5]设X是非空集,D为全体分布函数,F:X×X→D,称(X,F)为非阿基米德概率度量空间，若对x,y∈X,分布函数F(x,y)(记为Fx,y)，满足下面条件:

(ⅰ)对∀t>0,Fx,y(t)=1当且仅当x=y;

(ⅱ)Fx,y=Fy,x,∀x,y∈X;

(ⅲ)Fx,y(0)=0,∀x,y∈X;

(ⅳ)若Fx,y(t)=1,Fy,z(s)=1，则Fx,z(max{t,s})=1,∀x,y,z∈X。

定义2[8]映象Δ:[0,1]×[0,1]→[0,1]称为三角范数, 如果满足以下条件：

(ⅰ)∀a∈[0,1],Δ(a,1)=a;

(ⅱ)∀a,b∈[0,1],Δ(a,b)=Δ(b,a);

(ⅲ)∀a,b,c,d∈[0,1],若a≥b,c≥d,有Δ(a,c)≥Δ(b,d);

(ⅳ)∀a,b,c∈[0,1],Δ(a,Δ(b,c))=Δ(Δ(a,b),c)。

定义3[5]三元组(X,F,Δ)称为非阿基米德Menger概率度量空间, 若(X,F)是一非阿基米德概率度量空间,Δ是满足下列条件的Δ-范数。

Fx,z(max{t1,t2})≥Δ(Fx,y(t1),Fy,z(t2)),∀t1,t2∈[0,∞),∀x,y,z∈X。

设Ω={g|g:[0,1]→[0,∞)连续, 严格递减,g(1)=0,g(0)<+∞}。

定义4[5]非阿基米德Menger概率度量空间(X,F,Δ)称为(Cg)型的, 如果存在g∈Ω,使得∀x,y,z∈X,∀t≥0, 有gFx,y(t)≤gFx,z(t)+gFz,y(t)。

定义5[5]非阿基米德Menger概率度量空间(X,F,Δ)称为(Dg)型的, 如果存在g∈Ω,使得∀s,t∈[0,1], 有g(Δ(s,t))≤g(s)+g(t)。

定义6[4]设(X,F,Δ)是(Dg)型非阿基米德Menger概率度量空间，(X,F,Δ)中序列{xn}收敛于x当且仅当对∀ε>0,λ>0, 存在N(ε,λ)∈N，使得n≥N(ε,λ),有gFxn,x(ε)

定义7[4]设(X,F,Δ)是(Dg)型非阿基米德Menger概率度量空间，(X,F,Δ)中序列{xn}称为Cauchy序列当且仅当对∀ε>0,λ>0, 存在N(ε,λ)∈N，使得∀n≥N(ε,λ),∀p≥1,有gFxn,xn+p(ε)

引理1[9]设(X,F,Δ)是(Dg)型非阿基米德Menger概率度量空间,S、A:X→X是相容映象, 如果Az=Sz,z∈X, 则ASz=SAz。

2 主要结果

定理1设(X,F,Δ)是完备的(Dg)型非阿基米德Menger概率度量空间,(S,A)、(T,B)是X→X的相容映象对,AX⊂TX,BX⊂SX, 使得∀x,y∈X,∀t>0，

(1)

其中H∈H1,ψ:R+=[0,∞)→R+是勒贝格可积与可和的, ∀a,b∈R+,

证明任取x0∈X, 作序列y2n=Ax2n=Tx2n+1,y2n+1=Bx2n+1=Sx2n+2(n=0,1,2,…)。∀t>0, 由式(1)有

(2)

同理可证，对∀t>0，有

于是，∀n≥1,t>0, 有

故对∀t>0，由T、S的连续性知，

g[FBTx2n+1,Ty*(t)]≤g[FBTx2n+1,TBx2n+1(t)]+g[FTBx2n+1,Ty*(t)]→0(n→∞),

g[FASx2n,Sy*(t)]≤g[FASx2n,SAx2n(t)]+g[FSAx2n,Sy*(t)]→0(n→∞)。

于是，∀t>0, 由式(1)得

如果用H的连续性代替映象A、B的连续性, 则有下列结果。

定理2设(X,F,Δ)是完备的(Dg)型非阿基米德Menger概率度量空间,(S,A)、(T,B)是X→X的相容映象对,AX⊂TX,BX⊂SX，使得∀x,y∈X,∀t>0, 有

(3)

其中H∈H1,ψ:R+=[0,∞)→R+是勒贝格可积与可和的, ∀a,b∈R+,

证明任取x0∈X, 作序列y2n=Ax2n=Tx2n+1,y2n+1=Bx2n+1=Sx2n+2(n=0,1,2,…),

故对∀t>0，由式(3)和T、S的连续性知，

g[FBTx2n+1,Ty*(t)]≤g[FBTx2n+1,TBx2n+1(t)]+g[FTBx2n+1,Ty*(t)]→0(n→∞),

g[FASx2n,Sy*(t)]≤g[FASx2n,SAx2n(t)]+g[FSAx2n,Sy*(t)]→0(n→∞)。

于是，∀t>0，由式(3)有

在上式中令n→∞取极限, 得

在上式中令n→∞取极限, 得

推论1[9]设(X,F,Δ)是完备的(Dg)型非阿基米德Menger概率度量空间,(S,A)、(T,B)是X→X的相容映象对,S、T、A、B连续,AX⊂TX,BX⊂SX, 使得∀x,y∈X,∀t>0, 有

则S、T、A、B在X上有唯一的公共不动点。

设X和Y是实Banach空间,S⊆X为状态空间,D⊆Y为决策空间,B(S)是S上有界实函数全体,x和y分别为状态向量和决策向量,T为过程变换,f(x)为具有初始状态x的最优返回。下面利用定理1讨论下列起源于动态规划的泛函方程的解的存在性和唯一性：

(4)

定理3设

①u,Gi(i=1,2,3,4)有界；

②对任意(x,ξ,y)∈S×S×D,k,h∈B(S)和t>0, 有

其中g:[0,1]→[0,∞),g(x)=1-x,∀x∈[0,1],H∈H1，

③A1(B(S))⊂A4(B(S)),A2(B(S))⊂A3(B(S))；

④对Ai(i=1,2,3,4), 满足任意的{γn}n≥1⊂B(S),γ∈B(S),有

⑤对任意的{μn}n≥1⊂B(S), 如果存在μ∈B(S),当

则泛函方程组(4)在B(S)中存在唯一解。

证明对任意k,h∈B(S),定义d(k,h)=sup{|k(x)-h(x)|,x∈S},由条件①可知，Ai:B(S)→B(S),i=1,2,3,4。由条件④和条件⑤，A1、A2、A3、A4是连续的，并且A1与A3，A2与A4是相容的。若opt=sup，则由条件②中Aiqi(x)的定义，对任意的k,h∈B(S),x∈S, 对任意的ε>0存在y,z∈D，有下列不等式成立：

A1k(x)

A1h(x)

A1k(x)≥u(x,z)+G1(x,z,k(T(x,z)))，

A2h(x)≥u(x,y)+G2(x,y,h(T(x,y)))。

由上面不等式容易得到

A1k(x)-A2h(x)

A1k(x)-A2h(x)>G1(x,z,k(T(x,z)))-G2(x,z,h(T(x,z)))-ε。

进而，

令ε→0，得

于是，对∀t>0,有

进而，对∀t>0,有

因此，对∀t>0, 由条件②有

(5)

若opt=inf，类似于上面证明过程可知式(5)成立，于是，由定理1可知，A1、A2、A3、A4有唯一的公共不动点q∈B(S)，即q为泛函方程组(4)的唯一公共解。证毕。

3 结束语

随着非线性映象不动点理论的发展，提出并研究新的非线性映象类不动点的存在性, 借以统一前人的一些结果, 这是非线性映象不动点理论的研究趋势之一。非阿基米德Menger概率度量空间中gF满足三角不等式，因此在非阿基米德Menger概率度量空间中讨论Altman型映象不动点的存在性成为可能。本文在非阿基米德Menger概率度量空间中建立涉及4个映象的更广泛一类积分Altman型映象公共不动点的存在性定理, 最终将相关文献中的结果, 推广到了非阿基米德Menger概率度量空间中积分Altman型映象类, 扩展了相关定理的适用范围，并在概率度量空间中将本文结果应用于解决起源于动态规划的一类泛函方程组公共解的存在与唯一性问题。