浅谈高中数学概念教学及提升实效的策略
2020-01-11胡敬衡
胡敬衡
【摘要】数学知识有着自身的独特性，其概念的种类较多，都属于最基础的内容，学生们必须透彻地掌握才能在实践中进行更深入的探索，运用所学的知识去解决生活中的一些问题.高中数学课堂中，概念的教学是目前教师授课的重点部分，教师需投入较多的精力设计出多样化的授课方案，营造出愉悦的课堂气氛，使学生更好地参与进来，打开思维空间吃透所学的概念，在面对问题时能找准切入点并顺利地解决问题，并在脑中形成更为系统的知识框架.学生经教师的点拨能够获得自身的进步，提升数学素养.
【关键词】高中数学;概念教学;提升实效;策略
数学的概念与学生的成绩及解题的能力等有着较为直接的关系，是学生在脑中构建理论体系的前提，故被教师视为授课的重点，也是优化教学的方向.数学概念是学生在面对众多问题时能够轻松完成解题的工具，能够使其带着自信去探究更多的知识，提升其主动性.新时期下的高中数学课堂中，教师凭借先进的理念，结合学生的实际情况，对授课的方案和点拨的手段等进行调整，重视数学概念的掌握，将知识以多种形式传递给学生，然后在学生具备扎实的基础上从多角度引导、强化其思维，避免概念的混淆，使新旧知识得到融合，形成愈发完善的知识体系，进而构建高效课堂.
一、轻松引入概念，燃起学习热情
高中生对概念所体现的表面含义能够较为轻松地解读，但不能掌握其所蕴含的深意，教师就会占用课上时间进行讲解，进而没有多余时间让学生对重难点问题进行独立思考，导致授课效率停滞不前.面对这种情况，教师应重视课前的预习，布置相应的导学任务，让学生利用课下的时间来完成对新知识的预习.学生可以带着预习时产生的疑问，有针对性地去搜集有用的信息，滿足自身的求知欲.课前预习也是教师能够轻松引入概念的先决条件，教师能够借助预习在全新的授课模式下燃起热情，提升探索新知识的技能，体现授课的实效性.
例如，在讲解函数的单调性前，教师可以给出相应的预习内容，让学生用自身喜爱的方式去完成.
1.当看到f（x）=x2这样的函数时，我们假设这个x值会逐渐增加，而此时的f（x）所对应的值将发生什么样的变化？
2.假设x1 3.根据以上2个问题的解读，你能够得出一些什么结论或者新的发现，尝试以数学语言的方式来表达. 该导学方案所出示的三个问题间有着一定的引导效用，学生在预习时应有针对性地在教材中寻找与单调函数相关的概念，接着思考前2个问题，同时产生新的疑问“如果x1 二、尊重个体差异，强化数学思维 高中生因家庭环境、性格和接受能力等方面的不同，而在课堂上呈现出不同的个性化，有着独立的思维并付诸行动.大多高中生在面对众多数学问题时并没有完整的思路，解题遇到困难时极易放弃而使知识的系统性有所缺失，这正是概念不清所导致的.对于此，教师应对学生的个体差异表示出一定的尊重，并根据其课堂的表现和失误进行有方向性的点拨，使之正视自身的优缺点，在对比和尝试中寻找到适合自己的方式，掌握概念，并将其视为解题的工具，使自身的短板得到相应的弥补，拉近与同学间的差距，突显授课的实效性. 例如，在解读双曲线概念时，学生都能够轻松地理解字面的意思，为此，教师将该概念从另一个角度进行讲解，提出“平面内与已知的两个定点F1和F2的距离的差的绝对值是常数（<│F1F2│）的点的轨迹应该是什么？”学生转换思考的角度，结合双曲线的概念继而回答出“双曲线”.为了加深对该概念的认识，教师提出另一个问题与之进行对比“若上述F1和F2两点的距离的和等于常数（>│F1F2│）的点的轨迹又是什么？”学生迅速与双曲线的概念进行对比，回答出“椭圆”.在这种变式的概念训练下，每名学生都能尽快地掌握椭圆和双曲线概念间的区别和联系，加深了对两个概念的理解和记忆，构建课堂的实效性. 三、展现概念本质，形成清晰认识 数学的概念多有着精炼的表达方式，用准确的语言来总结，蕴含着一定的内涵，学生在解读时会感到吃力.这就需要教师向学生透彻地讲解概念表达中每一个词所包含的意思，并设计多样化的授课方式将概念以不同的形式传递给学生，使之看到其中的本质，形成清晰的认识而不易混淆. 例如，讲解等差数列的概念时，教师应注意其中的“一个数列需从第二项起，而不是第一项”，同时讲解每一项与其前一项的关系，让学生了解什么是等差数列并掌握相应的通项公式.随之，教师可设计较为典型的例题“当首项是23，公差是整数的前提下，该等差数列从第7项的位置出现负数，那么其公差d应为（ ）.”将学生分为几个小组对该问题进行相应的讨论.互动中，组员间相互分享自己的看法，寻找概念间的联系并熟练、灵活地运用概念，找准切入点解决问题.在这一过程中，学生的思维得以打开，数学素养得以提升. 四、重视概念理解及正确应用 教师应在训练中将概念变成真正的解题工具，贯穿于数学问题的始终，突显其效用. 例1 函数f（x）=x3-sin x+2，若f（a）=1，求f（-a）的值. 解 令f（x）-2=x3-sin x为奇函数， ∵f（a）=1， ∴f（a）-2=a3-sin a，a3-sin a=-1， ∴f（-a）-2=（-a）3-sin（-a）=-（a3-sin a）=1， ∴f（-a）=3.
这一题目考查的重点是函数的奇偶性.主要是了解学生对这一问题的理解程度.
例2 已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2，-1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取最小值时，点P的坐标为.
解 ∵y2=4x，
∴p=2，焦点坐标为（1，0）.
依题意可知当P，Q和焦点三点共线且点P在中间时，距离之和最小，如图所示.
故点P的纵坐标为-1，代入抛物线方程求得x=1[]4，故答案为1[]4，-1.
点评 点P到焦点的距离可利用抛物线的定义，转化为点P到准线之间的距离，体现数学上的转化与化归的思想，在数学问题中，经常考查这种数学思想.
例3 已知：a>0，b>0，a+b=1，求a+1[]a2+b+1[]b2的最小值.
错误解法 a+1a2+b+1b2=a2+b2+1a2+1b2+4≥2ab+2ab+4≥4ab·1ab+4=8，
∴a+1a2+b+1b2的最小值是8.
分析 解答中兩次用到了基本不等式a2+b2≥2ab，第一次等号成立的条件是a=b=12，第二次等号成立的条件是ab=1ab，显然，这两个条件是不能同时成立的.因此，8不是最小值.
正确解法
a2+b2+1a2+1b2+4[ZK（]=（a2+b2）+（1a2+1b2）+4=[（a+b）2-2ab]+1a+1b2- 2ab+4
=（1-2ab）1+1a2b2+4，[ZK）]
由ab≤a+b22=14，得
1-2ab≥1-12=12，且1a2b2≥16，1+1a2b2≥17，
∴原式≥12×17+4=252 （当且仅当a=b=12时，等号成立），∴（a + 1a）2 + （b + 1b）2的最小值是25[]2.
五、提升解题策略
数学是一门很高深的学科，其解题思路多样化.因此，在解答数学题的时候，要避免惯性思维与固化思维.根据题目的内容，变化思维方式灵活解答，才是正确的解题之道.
（1）学会仔细认真地进行观察
观察是人类知觉的一种比较高级的状态.这种状态更是一种有目的并且是十分持久的知觉.因此，我们在面对问题的时候，首先要学会仔细认真地观察，才能为后续解决问题打下良好的基础.
不管是简单的数学题还是复杂的数学题，已知条件间都会存在着某种联系.因此，如果想要解答出这类问题，还需要根据题目自身的具体情况进行深入的观察和分析，通过分析来看透题目背后的本质，从而找到合理的解题思路.
举例说明：
例4 求和11×2+12×3+13×4+…+1n（n+1）.
这道题看似十分复杂，若能观察到第n项的特征1n（n+1）=1n-1n+1，将原式化为1-12+12-13+…+1n-1n+1=1-1n+1的形式，问题很快就解决了.
例5 当3x2+2y2=6x，那么x2+y2的最大值是什么？
解 由3x2+2y2=6x，可知，
y2=-32x2+3x.
∵y2≥0，∴-32x2+3x≥0，∴0≤x≤2.
∴当x等于2时，x2+y2存在最大值，最大值为-12（2-3）2+92=4.
运用固式思维进行解题的同学，其步骤大多如下：
知道 3x2+2y2=6x可以变换为 y2=-32x2+3x，
∴x2+y2=x2-32x2+3x=-12（x-3）2+92，
∴当x为3时，x2+y2有最大值是92.
这种计算方式其实忽略了题目中给出的一些条件，因此导致最终的结果出现偏差.我们在解题之前，要注意题目中可能存在的一些“陷阱”以及一些隐藏起来的条件.上述可见，审题是十分重要的，故解题前要认真审题，注意题目中所给出的所有条件，再进行解题.
（2）善于思考题目之间的关系
在解答数学问题的过程中，学会联想也是一种不错的方式.有些问题看起来十分复杂和困难，但是通过抽丝剥茧的联想后，会发现它可能仅仅是许多基础题混杂在一起而已，解答起来并不困难.所以，在解题的时候，可以通过联想的方式进行解答.
例6 求解下列方程组x+y=2xy=-3.
分析 题干中已知条件为：两数的和以及两数的积.因此通过韦达定理我们可以知道，x，y是一元二次方程 t2-2t-3=0的两个根，
得知x=-1，y=3或x=3y=-1.此题通过合理的联想能够把复杂的问题简单化.
例7 若（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0，
证明2y=x+z.
分析 此题一般是通过因式分解来证.但是，如果注意观察已知条件，不难发现它与一元二次方程的判别式相似.于是，我们联想到借助一元二次方程的知识来证明.
证明 当x-y≠0时，等式 （z-x）2-4（x-y）（y-z）=0，可看成关于t的一元二次方程（x-y）t2+（z-x）t+（y-z）=0有等根的条件，再进一步观察这个方程，它的两个相等实根是1，根据韦达定理有y-zx-y=1，即 2y=x+z.
（3）学会将问题进行转变
曾经有一个十分知名的数学家表达过这样一个观点：数学的解题实际上就是数学命题不断转换的一个过程.我们通过这种转化，可以更好地进行数学解答.
例8 已知a+b+c=1a+1b+1c=1，求证a，b，c中至少有一个等于1.
分析 结论没有用数学式子表示，我们应先将结论转化成我们熟悉的形式.a，b，c中至少有一个为1，也就是说a-1，b-1，c-1中至少有一个为零，这样，问题就容易解决了.
证明 ∵1a+1b+1c=1，
∴bc+ac+ab=abc.
∴（a-1）（b-1）（c-1）=abc-（ab+ac+bc）-1+（a+b+c）=0.∴a-1，b-1，c-1中至少有一个为零，即a，b，c中至少有一个为1.
六、结 语
概念教学在新时期背景下成为高中数学课堂的关键环节，也是贯穿数学知识的纽带，学生在概念的积累下形成扎实的基础，为后续的探究和多种实践活动带来动力，其自身的潜能也得到了激发，技能也得到了提升，情感上也收获了欢乐.在新课标指引下，教师应充分尊重高中生的个性特点，从其角度出发设计多样化的授课方案并给予高中生更多的关注，使其在愉悦的气氛下对概念有全新的认识，有意识地做到重点记忆，整体提升其掌握程度，进而在有限的时间内提升授课的效率.
【参考文献】
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