一道数轴上的动点问题的源与流的探究之路

林运蓉

【摘要】七年级学生学习了上册四个章节之后，掌握了数轴，方程，直线、射线、线段的相关知识，会接触到一类以数轴为背景的动点问题.面对这一类问题，很多学生难以适应由数到形的转变，不能合理运用数形结合思想.解决这类问题，要理顺运动过程，从“形”找等量关系，利用各线段之间的数量关系列方程，从“数”找等量关系，利用数轴上各点表示的数之间关系列方程，分析问题来求解.

【关键词】动点问题;数轴;距离;平移

数学学习的精髓是把复杂问题逐步分解，通过对问题进行深入的剖析，找寻解决问题的策略，再加以总结，得出一类问题的解决策略.进入七年级，数轴的学习迈出了初中数学数形结合的第一步，而数轴上的动点问题是伴随数轴与方程的知识应运而生的，它是动点问题的基础，知识涉及面很广：绝对值的几何意义，数轴上的点表示的数，行程问题，代数式等.下面笔者以一道数轴上的动点问题为例，在探究活动中帮助学生感悟动点问题的源与流.

1.根源：距离与中点

【引例】如图1所示，数轴上点A，B表示的数分别为6，-4，

【问题1】A，B两点之间的距离是多少？A，B两点的中点所表示的数是什么？

分析：学生从数轴上很容易得出A，B两点之间的距离，就是线段AB的长度，6-（-4）=10，所以A，B两点之间的距离是10.A，B两点的中点所表示的数，就是线段AB的中点表示的数，设线段AB的中点表示的数为x，|6-x|=|x-（-4）|，解得x=1.即A，B两点的中点表示的数是1.

点评：数轴上的动点问题离不开數轴上两点之间的距离，数轴上两点之间的距离可以用这两点所表示的数的差的绝对值来表示.例如数轴上点A表示的数是a，点B表示的数是b，则线段AB的长度可以用a-b来表示，而A，B两点的中点所表示的数为a+b2.

2.点的平移

【问题2】点M从点B出发，沿数轴移动4个单位长度到达点C，则点C表示的数是什么？

分析：先分类，再计算.①沿数轴的正方向向右平移，点C在点B的右边，则点C表示的数是-4+4=0;②沿数轴的负方向向左平移，点C在点B的左边，则点C表示的数是-4-4=-8.综上所述，点C表示的数是0或-8.

点评：数轴上动点问题的实质是数轴上点的平移，例如数轴上点A表示的数是a，向左运动b个单位长度后表示的数为a-b;向右运动b个单位长度后表示的数为a+b.

3.平移运动：单动点运动

【问题3】动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线BA运动，点N为BP的中点，则点P运动多少秒后，AP=BN？

分析：设点P的运动时间为t秒，点P沿数轴的正方向运动，则点P所表示的数是-4+2t，点N为BP的中点，则点N所表示的数是-4+（-4+2t）2=-4+t.点N在点B的右边，根据两点之间的距离公式得出BN=t.

先分类，再计算.①若点P在点A的右边，则由AP=BN得-4+2t-6=t，解得t=10.②若点P在点A的左边，则由AP=BN得6-（-4+2t）=t，解得t=10[]3.综上所述，点P运动10[]3秒或10秒后，AP=BN.

点评：问题3是单动点运动，从哪个点开始运动、运动方向与运动速度是解题关键.例如数轴上点A表示的数是x，设点P的运动时间为t秒，点P以每秒a个单位长度的速度从点A处向左运动t秒后表示的数为x-at;向右运动t秒后表示的数为x+at.

4.平移运动：双动点运动

【问题4】动点P从点B出发，以每秒6个单位长度的速度运动，动点Q从点A出发，以每秒4个单位长度的速度运动.

（1）若点P，Q同时沿射线BA运动，则点P运动多少秒与点Q重合？

（2）若点P，Q同时运动，其中点P沿射线BA运动，点Q沿射线AB运动，则点P运动多少秒与点Q重合？

解：设运动时间为t秒，（1）方法一：根据题意知点P，Q同时沿射线BA运动，是追及问题，A，B两点之间的距离是10.列出方程：6t=10+4t，解得t=5.答：点P运动5秒与点Q重合.

方法二：因为点P，Q同时沿射线BA运动，所以点P所表示的数是-4+6t，点Q所表示的数是6+4t，点P与点Q重合，则这两点表示的数相同，可列出方程为：-4+6t=6+4t，解得t=5.答：点P运动5秒与点Q重合.

（2）方法一：根据题意知点P，Q同时相向运动，是相遇问题，A，B两点之间的距离是10.列出方程：6t+4t=10，解得t=1.答：点P运动1秒与点Q重合.

方法二：若点P，Q同时运动，其中点P沿射线BA运动，点Q沿射线AB运动，所以点P所表示的数是-4+6t，点Q所表示的数是6-4t，若点P与点Q重合，则这两点表示的数相同，可列出方程为：-4+6t=6-4t，解得t=1.答：点P运动1秒与点Q重合.

5.两种方法：定值问题

【问题5】若点M为AP的中点，点N为BP的中点，动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿射线AB运动，则动点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？

分析：方法一：线段MN的长度不发生变化.理由如下：分两种情况：①当点P在线段AB上运动时，如图2所示，MN=MP+NP=12AP+12BP=12AB=5.②当点P在线段AB的延长线上运动时，如图3所示，MN=MP-NP=12AP-12BP=12AB=5.

综上所述，线段MN的长度不发生变化.

方法二：线段MN的长度不发生变化.理由如下：动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿射线AB运动，设运动时间为t秒，所以点P所表示的数是6-6t，点M为AP的中点，所以点M所表示的数是6+6-6t2=6-3t，同理点N为BP的中点，所以点N所表示的数是-4+6-6t2=1-3t，所以MN=6-3t-（1-3t）=5.结论：线段MN的长度不发生变化.

点评：问题5是单动点运动的定值问题，解题关键是求两点之间的距离.方法一是利用动点P运动，分两种情况讨论：①当点P在线段AB上运动;②当点P在线段AB的延长线上运动，得出线段MN的长度不发生变化.方法二是利用设运动时间为t秒，根据题意得出点P，M，N所表示的数，从而求出线段MN的长度.

6.反思提升：新定义问题

【问题6】A，B在数轴上表示的数分别为6，-4，点P，A，B为数轴上三点，若点P到点A的距离是点P到点B的距离的4倍，则称点P是【A，B】的奇妙点.

问题（1）：若【A，B】的奇妙点P在A，B两点之间，则点P表示的数是，若【A，B】的奇妙点P在点B左侧，则点P表示的数是.

问题（2）：现在点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向左运动，到达点B停止，求点P运动几秒时，三点P，A，B中恰有一个点为其余两点的奇妙点.

分析：本题解题的关键是阅读理解数轴上的新定义，列式可得结果.问题（1）：由新定义得到PA=4PB，设点P表示的数是m，①当【A，B】的奇妙點P在A，B两点之间时，列式得6-m=4[m-（-4）]，解得m=-2，则点P表示的数是-2，②当【A，B】的奇妙点P在点B左侧时，列式得6-m=4（-4-m），解得m=-223，则点P表示的数是-223.

问题（2）：设点P运动的时间为t秒，则PA=3t，PB=10-3t，AB=10，分为四种情况：①点P是 【A，B】 的奇妙点，则PA=4PB，列式为3t=4（10-3t），解得t=83;②点P是【B，A】的奇妙点，则PB=4PA，列式为10-3t=4×3t，解得t=23;③点A是【B，P】的奇妙点，则AB=4AP，列式为10=4×3t，解得t=56;④点B是【A，P】的奇妙点，则BA=4BP，列式为10=4（10-3t），解得t=52.综上所述，当点P运动83秒，23秒，56秒，52秒时，三点P，A，B中恰有一个点为其余两点的奇妙点.

上面例子中，以数轴为背景，设计问题串，距离、中点、平移为源头，单动点的距离、双动点的相遇与追及、定值问题的探究之旅，意在帮助学生理清解决问题的思路，感悟数形结合思想、分类讨论思想的运用方法，达到学以致用的目的.

7.延伸拓展：多点运动

【问题7】如图4所示，已知线段AB和线段CD是直线l上两条可以左右移动的线段，AB=4，CD=8，BC=m（m>0），线段AB的中点为M，线段CD的中点为N，线段AB以每秒4个单位长度的速度向右运动，线段CD以每秒1个单位长度的速度向右运动，若运动6秒后，MN=4，求m的值.

分析：本题是两条线段的运动，可视为四个端点的运动.解题的关键是找出点M，N所表示的数，再利用距离求解.如图5所示，以点A为原点，向右为数轴正方向，根据题意得，运动前：点A所表示的数是0，点B所表示的数是4，点C所表示的数是m+4，点D所表示的数是m+12.运动6秒后：点A所表示的数是4×6=24，点B所表示的数是4+4×6=28，点C所表示的数是m+4+6=m+10，点D所表示的数是m+12+6=m+18.

因为线段AB的中点为M，线段CD的中点为N，所以运动t秒后点M所表示的数是24+282=26，点N所表示的数是m+10+m+182=m+14，而MN=4，列方程为m+14-26=4或26-（m+14）=4，解得m=16或m=8.

综上所述，动点问题需要以数轴上的动点为起步，作出相应的图形，观察比较找寻运动规律、特殊位置，根据运动的不同情况进行分类讨论，列出方程，从而求解.

【参考文献】

[1]张利芬.“动”起来，让数学更好玩：对一个动点问题的思考[J].文理导航（教育研究与实践），2014（10）：108.

[2]华心昀.初一数轴上的动点问题探讨[J].启迪：教育教学版，2018（11）：13-14.

[3]鲁永江.构造方程模型解几何中动点问题[J].上海中学数学，2008（02）：41-43.