熵损失下产品可靠度的E-Bayes估计

许道军，费时龙，潘保国

(1.陆军炮兵防空兵学院 基础部，安徽 合肥 230031；2.宿州学院 数学与统计学院，安徽 宿州 234000)

对于产品可靠度参数的估计，Bayes估计法一直备受人们关注，特别是自从文献[1]提出可靠性参数的多层先验分布之后，多层Bayes估计法在可靠性参数估计中受到很多学者的青睐。但是，正如文献[2]中提到的，用多层Bayes估计法来估计产品的可靠度，一般都要涉及非常复杂的积分计算，很大程度上影响了其在实践中的应用。因此如果各种估计方法的计算结果非常接近时，估计方法的易算性就显得更为重要了。以韩明教授为代表的一批学者开始寻找参数更加简洁的Bayes估计方法。但大多都是在平方损失函数下研究参数的Bayes估计法，而熵损失函数下参数Bayes估计法的研究甚少。

实践中，大多情况下产品寿命的具体分布类型是无法预知的，即使寿命的分布类型是已知的，但获得的实验数据往往仅是失效产品的个数，产品的具体失效时间未知。设某产品的寿命分布类型是未知的，从中随机抽取一个容量为n的样本进行实验，假设在实验时间内有X个样品失效，且各产品是否失效是独立的，则可以认为，一段时间内产品失效个数X是服从二项分布的随机变量

(1)

其中，0

定义1假设随机变量X的概率密度为f(x,θ)，其中θ为未知参数。若δ是θ的判决空间的一个估计，则熵损失函数为似然比对数的数学期望，即

设X1,X2,…,Xn是来自二项分布总体的简单随机样本，则根据定义1，其熵损失函数为

容易证明，此损失函数是关于δ的严格凸函数。

引理[5]在熵损失函数下，假设δ是参数θ的判决空间的一个估计，π(θ)是θ的一个先验分布，则参数θ的Bayes估计可唯一地表示为

在(1)式中，取可靠度R的先验分布为其共轭先验分布——Beta分布，其概率密度为

π(R|a,b)=Ra-1(1-R)b-1/B(a,b)。

根据文献[2]，选取超参数a与b的时候，应满足π(R|a,b)是关于R的单调递增函数，为此将先验概率密度π(R|a,b)对R求导数得

π(R|a)=aRa-1。

(2)

其中，01为超参数。

根据文[2]，尾部较细的先验分布会造成Bayes估计的稳健性极差，因此应当给超参数a确定一个上限，假设c>1为a的一个上限，这样可以确定超参数a的取值范围为D={a|11}。

1 可靠度R的E-Bayes估计

为参数R的E-Bayes估计。

假设对某产品进行m次定时截尾试验，第i次试验样品数为ni,i=1,2,…,m，若第i次试验的结果是容量为ni的样本中有ri(0≤ri≤ni)个样品失效，则将这m次试验的结果记为(ni,ri),i=1,2,…,m。

为了说明超参数a先验分布π(a)的变化对可靠度R的E-Bayes估计的影响，下面将在超参数a的3种不同的先验分布下，分别计算可靠度R的E-Bayes估计，并进行比较。

1) 在熵损失函数下，可靠度R的Bayes估计为

2)若超参数a在D上的先验概率密度π(a)分别由(3)～(5)式表示：

(3)

(4)

(5)

则对应的可靠度R的E-Bayes估计分别为

1)]；

(6)

(7)

(8)

证明1)根据文献[3]，参数R的似然函数为

若参数R的先验概率密度π(R|a)由(2)式表示，则R的后验概率密度为

h(R|N)∝π(R|a)L(R|r)=aRN+a-r-1(1-R)r。

即R|N～Be(N+a-r,r+1)，故在熵损失函数下可靠度R的Bayes估计为

若(2)式的超参数a在D上的先验概率密度π(a)由(3)式表示，则根据定义2，可靠度R的E-Bayes估计为

定理2若超参数a在D上的先验概率密度π(a)分别由(3)～(5)式表示，则当c>1时，有

f′(x)>f′(0)=0，所以f(x)>f(0)=0，故当

2 可靠度R的多层Bayes估计

为了便于将可靠度R的E-Bayes估计与其对应的多层Bayes估计进行比较，以下分别在(3)～(5)式下计算出可靠度R的多层Bayes估计。

若可靠度R的先验概率密度π(R|a)由(2)式表示，超参数a的先验概率密度π(a)分别由(3)～(5)式表示，则根据文献[1]的方法，可得参数R的多层先验概率密度可分别表示为(9)～(11)式：

0

(9)

(10)

(11)

定理3对失效个数服从二项分布的产品进行m次试验，实验结果为(ni,ri),i=1,2,…,m，若参数R的多层先验概率密度π(R)分别由(9)～(11)式表示，则在熵损失函数下可靠度R的多层Bayes估计可分别表示为(12)～(14)式：

(12)

(13)

(14)

证明若参数R的多层先验概率密度π(R)由(9)式表示，根据Bayes定理知，R的多层后验概率密度为

在熵损失函数下，可靠度R的多层Bayes估计为

同理，若参数R的多层先验概率密度π(R)分别由(10)式和(11)式表示，则可靠度R的多层Bayes估计可分别表示为(13)式和(14)式。

3 数值比较

文献[5]给出了某型电子元件在定时截尾试验中获得的实验数据(假设产品失效时间不详)，具体数据见表1。

表1 某电子元件失效数的定时截尾实验数据Tab.1 The failure data of an electronic component under censoring life test

表2 某电子元件可靠度R的E-Bayes估计和多层Bayes估计Tab.2 The expected and hierarchical bayesian estimation for reliability of an electronic component