超可数紧空间的若干性质

张 瑜，张国芳

1983年，MASHHOUR［1]去掉了拓扑空间定义中的有限交条件，给出了超拓扑空间的定义，即X上的τ的幂集2X的一个子集族τ，如果满足：①φ,X在τ中.②τ中元素的任意并仍然在τ中，则称(X,τ)为超拓扑空间.τ中的任意一个元素都称为超拓扑空间(X,τ)的超开集.若A是拓扑空间X的一个子集，点x∈A，如果存在超开集U，使得x∈U⊂A，则称A是x的一个超邻域.2008年，JASSIM［2]提出了超紧空间的定义，讨论了超紧空间的相应性质并且指出了超紧空间与拓扑空间的区别与联系，探究了超紧空间的子空间的性质，证明了超紧空间在S∗连续映射下的像是超紧的，两个超紧空间的乘积仍然为超紧空间.2016年，AL-SHAMI［3]中给出了超极限点定义，即若(X,τ)是一个超拓扑空间并研究了超极限点和超边界点的性质，介绍了超闭包算子，超lindelöf，几乎超紧（几乎超lindelöf）和弱超紧（弱超lindelöf）性质等相关概念，指出了它们 之 间 的关系.2016年，ABO-ELHAMAYEL 和AL-SHAMI［4]给出了超开集中特殊的一类——超α开集，并且详尽地阐明了超R-开集和超α开集的关系，探究了超α开集在超连续映射、超开映射、超同胚映射下的性质，讨论了超R-开集在超R-分离公理上的应用.

本文所有空间均为超拓扑空间，其他未给出的定义见文献［3].

1 预备知识

定义1［3]如果一个集族{Gi：i∈I}的任意有限子集族{Gi1,Gi2,…,Gin} 有一个非空的交集，则称这个集族具有有限交条件.

定义2［5]一个超拓扑空间(X,τ)，对于X的任意超开覆盖均有一个可数的超子覆盖称为超lindelöf空间，也称X具有lindelöf性质.

定义3［6]如果对于X中的任意两个不同的点x和y，存在两个不相交的超开集U和V，使得x∈U,y∈V.如果X是一个超T2空间，且X的任意可数超开覆盖均有一个有限超子覆盖，则称X为超可数紧空间.

定义4［7]一个超拓扑空间( )X,μ，若对于X的任意超开覆盖均有一个有限的超子覆盖，则称它为超紧空间.

定义5［7]超 拓 扑 空 间X的 一 个 子 集 族如果对于任意点x∈X，存在X的一个超开邻域U，使得集合{s∈S：U⋂As≠φ}是有限的，则称它为超局部有限族.

2 主要结果

定理1 超可数紧的超闭子空间为超可数紧空间.

证明 令X为超可数紧空间，F为X的超闭子集，任取一个F的超可数开覆盖τ=由超子空间的定义可知任意 的Vi∈τ，存 在X中 超 开 集Ui使 得Ui=Vi⋂F，则就构成了覆盖F的X的超开集族，故就构成了X的超可数子覆盖，由于X为超可数紧的，所以存在的一个有限子族覆盖了X中的超闭集F，令其中j=1,2,…,n，则就构成了τ的一个有限子覆盖.

定理2 设X是超T2空间，以下条件等价：

（1）X是一个超可数紧空间；

（2）X的具有有限交条件的任意可数超闭子集族有非空的交；

（3）对于X的任意非空超闭子集的递减序列有

定理3 若X为超T2空间，则以下条件等价：

（1）X为超可数紧空间；

（2）由X的非空子集构成的超局部有限族是有限的；

（3）由X的单点子集构成的任意超局部有限族是有限的；

（4）X的任意无限子集有一个超极限点；

（5）X的任意可数无限子集有一个超极限点.

证明（1）⇒（2）：假设（2）不成立.因此存在一个由X的非空子集构成的超局部有限族其中令由定理2 可得非空超闭集F1,F2,F3,…，形成一个递减序列并且因此空间X不是超可数紧空间.

（2）⇒（3）：证明是显然的.因为单点子集一定是非空子集.

（3）⇒（4）和（4）⇒（5）也是显然的.

下证（5）⇒（1）：假设（1）不成立，由定理2，存在X的非空闭子集的一个递减序列F1⊃F2⊃…，使 得对于i=1,2,3,…，选 择 一 个 点xi∈Fi，则 集 合A=是无限的，否则A中某点属于无限多下面证明Ad=φ，即（5）不成立.实际上，对于任意的x∈X，存在一个i使 得x∉Fi. 因 此 集 合U=( )

XFi个Fi将会有是x的一个超开邻域且满足U⋂A⊂{ }x.

例1 存在一个非超紧的超可数紧空间.

定理4 一个超T2空间X为超紧空间当且仅当X具有超lindelöf性质的超可数紧空间.

证明 必要性是显然的.

定理5 两个超可数紧空间的并是超可数紧的.

推论1 超可数空间的有限并仍为超可数空间.

定理6 设X为超可数紧空间，Y是超T2空间.f为X到Y上的S∗连续满射，则Y亦为超可数紧空间.

3 结论

本文利用拓扑空间上可数紧空间的相关性质和超空间上超紧空间的若干性质，定义了超可数紧空间的基本概念，研究了超拓扑空间上超可数紧的覆盖性质和映射性质.丰富了超拓扑空间的内容，对其它特殊的超拓扑空间产生深远影响.