信息加工理论下数列极限概念的认知心理与教学策略

闫婷婷，汉景林

数列极限概念是微积分中最具挑战性的概念之一，怎样理解“无限趋近”？形式化定义中“对任意给定的”“总存在一个”“当……时”“必有……成立”的每一句是什么含义？为什么他们能够表述“无限趋近”的过程？怎样用形式化定义证明数列极限？这一系列问题往往使初学者迷惑不解.笔者试图从信息加工理论的视角重新审视数列极限定义的传统教法，分析学生产生认知困难的心理因素，探索应对认知困难的教学策略.

1 信息加工理论概述

信息加工理论是现代教育重要的理论之一，该理论认为：学习是新知识信息在头脑中一系列加工处理的过程，包括信息输入、登记、编码、储存等环节.

信息加工的流程是：学生从教学环境接受教学内容的刺激，刺激经过感受器（视觉、听觉、触觉）转变为神经信息，以完整的映象形式进入感觉登记器进行登记.有些信息被登记了，有些信息消逝了，是否被登记主要依据学生个体的执行控制（认知策略）和期望（学习动机），通过选择性知觉引起注意的被登记了，其余的消逝了.

被登记的信息很快进入短时记忆，短时记忆又称工作记忆，是信息进行加工处理的场所.学生从长时记忆的认知结构中提取与新信息相关联的知识对新信息进行“同化”或“顺应”，“同化”或“顺应”的过程称为编码.“同化”是指处理信息时，利用头脑中固有图式对新知识进行取舍改造的过程；“顺应”是在没有现成的图式可以直接利用时，需设法调整或改变已有图式或设立新图式使之能够接纳新信息.

被编码的信息有两种流向.一种是具有习得性质的信息被编码后进入长时记忆，建构成新的认知结构并储存其中，从而学生的认知得以扩充与增长；另一种具有应用性质的信息被编码后流向反应发生器，反应发生器具有信息转换或动作的功能，从反应发生器传出的神经传导信息使效应器（肌肉）活动起来，产生一个影响学生环境的操作行为，让外部观察者知道学生已学到了什么.

“执行控制”和“期望”是信息加工模型中的重要结构.执行控制是已有经验对现在学习过程的影响，决定哪些信息从感觉登记器进入短时记忆，对信息如何编码，信息加工时采取何种提取策略；期望是个体动机系统对学习过程的影响，它决定个体的学习目标和学习效果.个体的整个学习过程都是在这两个结构作用下进行的［1-3］.

2 数列极限定义的教学过程与认知心理分析

（1）教学过程1：引入概念.

教学事件：讲述刘徽割圆求面积的故事，引入极限思想并给出数列极限的描述性定义（引起注意，激发动机）.提出问题：如何用数学语言刻画极限概念（告知学习目标）.

认知心理：数列极限概念的图形表征通过视觉和听觉进入感觉登记器，是否被登记依赖于学生个体对故事的兴趣以及所提问题的警觉程度，如果被注意则产生以定义为目标的学习冲动，数列极限概念以视觉形式进入短时间记忆等待编码.

（2）教学过程2：讲授概念.

③利用a是数列xn极限的几何意义进一步解释说明“ε-N”定义（联想）.

认知心理：①学生经教师引导将刺激特征“n无限增大时，xn无限趋近于常数1”从其他刺激分离出来引起关注.

②经过对ε一系列赋值，在学生心理促成用表示xn与a的接近程度，以及用“n＞N”表示接近所需时刻的观念，但能否促成以及能否接纳“任取”“存在”“总有”等语句取决于学生个体认知策略中“用瞬时静态描述连续动态”的编码能力.

接纳定义者，定义以语义记忆的形式进入长时记忆；未接纳定义者，定义停留在短时记忆，如果不继续编码会很快消失.

③定义的数轴表征进入个体的短时记忆，已经接纳定义者，经过定义的数轴表征与符号表征之间的联系与转换的心理活动，使定义图式得以巩固和加强，之后又回到长时记忆中；先前未接纳定义者，可以从定义的数轴图形表征重新认知定义的语义，但能否重新认知取决于个体认知策略中的“联想策略能力”.重新认知者，定义进入其长时记忆成为定义接纳着，未能重新认知者，定义仍停留于短时记忆，如果未能继续编码会很快消失.

（3）教学过程3：应用示范.

教学事件：选择若干典型例子示范用“ε-N”定义证明数列极限（增强保持）.

①介绍证明程序：从|xn-a|出发不断放大不等式，即用导出N.

认知心理：已接纳定义者，习题信息进入短时记忆，随着教师演示提供的线索，学生从长时记忆中搜索提取定义、不等式、方法等图式“同化”证明程序及限定放大法，扩充成新的定义图式，再以语义记忆和程序记忆相结合的形式回到长时间记忆中.

未接纳定义者，如有学习动机驱动，习题信息会进入到短时记忆，并跟随教师进行编码，再由逆向迁移的作用，会对定义重新认知并接纳，重新认知的定义及证明程序与方法，以程序记忆的形式进入长时记忆；如未有学习动机，习题信息停留在感觉登记器并瞬间消逝.

（4）教学过程4：作业.

教学事件：布置习题若干，学生自主解答（引起行动）.

认知心理：作业是学生自主进行信息加工的过程.习题信息进入定义接纳者的短时记忆，依据习题线索，学生自主从长时记忆提取“证明程序”，搜索有关知识给予解答.能否顺利解答，取决于个体认知结构中的方法与技巧图式的稳定性与清晰程度，以及期望中的学习态度.掌握方法技巧者习题顺利解答；未掌握方法技巧者如有坚定的学习信念和顽强的毅力，则会努力探究解题方法与技巧，最终得以完成.完成后产生愉悦感又促进继续探究的欲望.

未接纳定义者，习题信息停留在感觉登记器不能进行登记，习题信息瞬间消逝.

（5）教学过程5：反馈.

教学事件：公布习题正确答案，纠正各种错误（评价行动）.

认知心理：正确答案及被纠正的错误信息进入短时记忆，经过与长时记忆中的定义、证明程序、原有知识的相互作用，使对定义的认知得以修正、扩充和加强.强化后的定义图式又回到长时记忆并融入认知结构中.同时，正确解答者会激活成就感，增加自信，产生再学习的心理冲动.

3 认知困难产生的心理因素与教学策略

从教学过程中学生的认知心理可以看出：数列极限蕴含“运动和无限趋近”的思想，学生原有认知结构中没有“同化”这一思想的固有观念，只能用“顺应”的方法去接受“.同化”产生理解很容易被接纳，而“顺应”必须改变或重建认知结构以顺应新知识，这是产生认知困难的根本原因，具体表现为：

（1）在概念认知方面：什么是“无限趋近”？它们的含义是什么？学生原有的静态的初等数学认知结构没有“同化”它的基本观念.教学过程中，刘徽割圆术的简单呈现并不能充分展示“无限趋近”的思想.

（2）在定义内涵方面：数列极限形式化定义实际上是一个命题，并且是具有充分必要性的命题：对任意给定的ε＞0 ，总存在一个自然数N，当n＞N时，必有|an-a|＜ε成立（简称四段语句）四段语句使用瞬时静态描述连续动态“无限趋近”的过程，相互关联的四段语句无论作为条件还是结论，在初等数学中从未出现过.同时，“ε”和“N”的意义是什么？它们之间有何相关性？这些是学生无法用初等数学的观念去“同化”的.

（3）在解题程序方面：证明数列极限时常用“限定放大法”放大不等式，“限定放大法”所需的数学技巧往往使学生困惑.

针对以上3 个认知困难，建议采用如下教学策略.

（1）策略1：动态表征策略.

实际上，产生认知困难（1）和（2）的原因是新旧知识在思维上出现了“跳跃式间断”，我们的策略是用一个“先行组织者”把它们联结上［4］.因为“间断”是由“无限趋近”造成的，我们就利用CAI（Computer Assited Instraction）技术制作一个动画组织者，把这个“无限趋近”表征出来.

动画1：用动画演示刘徽割圆术表征数列极限思想.制作动画，使屏幕上圆内接正四边形在鼠标控制下，依次变为正八边形，正十六边形，……，随着边数的增加，正多边形逐渐与圆弥合，呈现正多边形面积A1,A2,…,An,…，无限趋近于圆面积的思想.

动画2：用动画表征数列极限概念.制作动画，演示n无限增大时无限趋近于数1 的过程.鼠标控制慢镜头，屏幕上的亮点依次从点x1=0 跳到跳 到当亮点越来越靠近1 时局部放大，让学生观察随着n的增大，xn越来越靠近1的周围，呈现“无限趋近”的含义.

动画3：用动画表征数列极限ε-N定义.制作动画，数轴上标明x1,x2,…,xn,…等一系列无限靠近常数a的点，设立区间（a-ε,a+ε），用鼠标控制ε使之逐渐变小，指明：对每一个给定的ε，都存在项数N，当n＞N后，xn∈(a-ε,a+ε) ，每一次变动ε就是一次“任意给定的ε”，总存在项数N，就是“总存在一个自然数N”，当第N项之后所有项都满足xn∈(a-ε,a+ε) ，即是当n＞N后，必有成立.（2）策略2：方法的深加工策略.

用极限定义证明数列极限时，通常要限定n的一个取值范围，使不等式放大后变得简单，再联结ε导出N，即所谓的“限定放大法”.针对上面的认知困难（3），教师应指导学生得出一般性的方法，也就是对限定方法进行深加工.笔者认为，引导学生掌握一种思路与方法具有重要意义，因为思路与方法本身就是认知策略的重要组成部分，它是一种能力，在其他的学习中，会经常起意想不到的作用.比如，证明有理数列极限时，可指导学生得出下面的一般性方法.

4 结论

在整个信息加工过程中，认知策略始终起着控制和调节的作用.同一教师在同一时间、同一地点教出的学生，学习效果千差万别根源于个体的认知策略不同.建议在讲授“限定放大法”时，要求学生不仅会用“试错法”，还要探究一般性的方法.这是一个编码能力培养过程，而编码能力是认知策略的重要组成部分.加强后的认知策略，又会在新的信息加工中起到控制和调节作用，如此产生良性循环.

极限概念蕴含了“从运动到无限趋势”的思想，历史上，极限概念经历了人类长期对“无限趋近”过程的艰苦思考.在古代，人们已经有了极限的朴素思想，但极限定义的“ε-δ”等语言表述，直到19 世纪才最后形成.这一时期人们的认知经历了从静止到运动，从有限到无穷，从具体到抽象的艰难历程.一个经过众多数学家反复修正的概念使初学者迷惑不解是自然的.形式化定义的动态表征与符号表征相结合，能促使学生在心理上产生定义的语义象征，是值得研究和发展的有效手段.同时，学生在真正意义上理解和掌握定义，还需经过：定义→证题→定义→性质→定义→应用→定义等，多层螺旋式顺向与逆向反复迁移的认知过程.