含有互补品的双渠道供应链定价博弈

赵 静，魏丹丹，杨 帆

（天津工业大学 数学科学学院，天津 300387）

随着网络的发展，许多企业在利用实体店从事传统零售渠道销售的同时，积极开通网上商店发展其网络直销渠道，如IBM 公司、苹果公司等，形成了线上直销渠道和线下传统零售渠道并存的双渠道供应链。许多学者对双渠道供应链的定价决策和博弈问题展开了研究，如：Chiang 等[1]研究表明在双渠道供应链中在线渠道允许制造商约束零售商的定价行为。Chun 和Kim[2]分析了在线渠道与传统渠道之间出现价格差异的原因。Batarfia 等[3]研究了双渠道策略对由一个制造商和一个零售商组成的两级供应链绩效的影响。Dan等[4]研究了双渠道供应链中制造商和零售商集中式与分散式决策下的最优定价问题，并分析了零售商提供服务对制造商定价及利润的影响。Chen 等[5]研究了双渠道供应链中替代产品的定价决策。Hua 等[6]在双渠道供应链中分别建立制造商与零售商Bertrand 和Stackelberg 定价博弈模型，分析了零售商服务质量（文中认为是交货时间）对于制造商和零售商定价策略的影响。Chen 等[7]研究了零售商提供服务的双渠道供应链中的集中和分散时定价以及服务策略，分析了服务水平、顾客忠诚度对定价和利润的影响。Yao 等[8]研究了单一制造商与零售商的供应链中，制造商与零售商进行Bertrand 和Stackelberg 定价博弈，得出制造商和零售商最优定价策略。以上研究，大多关注于双渠道单产品的定价策略，而对双渠道中含互补品的研究较少。

由于产品种类的繁多，越来越多的人们更倾向于同时购买性能互补的产品，例如铅笔和橡皮、计算机硬件和软件等，从而使一种产品的性能得到最好的发挥。已有学者对互补产品定价策略展开研究，如Wei等[9]研究了含有互补产品的由两个制造商和一个零售商组成的供应链系统中定价策略问题；Mukhopadhyay等[10]研究了两个提供互补产品的制造商在多寡头市场下的信息共享问题；Gabszwicz 等[11]研究了含有两个提供互补产品的制造商的供应链的定价问题，并分析了产品的互补程度对最优定价的影响。但斌等[12]指出渠道产品进行互补合作，则可能缓解双方的渠道冲突，但该文也只研究了制造商和零售商同时定价决策的情形，而没有考虑由于制造商和零售商之间渠道权力的不同对定价决策的影响。

为了弥补以上空缺，本文考虑一个含有互补产品的双渠道供应链结构，基于不同的渠道权力结构，建立不同制造商占主导的Stackelberg 博弈定价和Nash博弈定价模型，得出不同的定价策略。通过分析渠道忠诚度、品牌忠诚度、产品之间的互补程度对最优定价和供应链成员利润的影响，得出重要管理启示。

1 模型假设

考虑包含两个制造商和一个零售商的双渠道供应链，制造商1 生产产品1，以批发价格w1销售给零售商的同时，开辟网络直销渠道直接销售给顾客，直销价格为p0。制造商2 生产产品2，以批发价格w2批发给顾客。产品1 和产品2 为互补产品，生产成本分别为c1和c2，零售价格分别为p1和p2。

本文假设市场需求量是仅依赖于产品零售价格的线性函数，这种函数形式许多文献中都采用，如文献[13-14]。由互补产品的特性，可得产品1 在直销渠道的需求函数、产品1 和产品2 在零售渠道的需求函数分别为：

式中：a0表示产品1 的直销渠道市场基础；a1表示产品1 的零售渠道市场基础；a2表示产品2 的市场基础；bi（i=0，1，2）表示产品自身价格的敏感性，自身价格敏感性与品牌忠诚度呈现负相关，随着品牌忠诚度增加，自身价格变得不那么敏感；β 表示产品1 在直销渠道和零售渠道间的交叉价格敏感参数，反映的是产品1 的渠道替代程度；r1表示直销渠道产品1 与产品2的互补程度，r2表示零售渠道产品1 与产品2 的互补程度。假设以下条件成立：

假设1：0＜c1＜p0，0＜c1＜w1＜p1，0＜c2＜w2＜p2；

假设2：0≤β＜bi，0＜γj＜bi，其中i=0，1，2和j=1，2；

假设3:b2γ（13b1γ1-4βγ2），（2b2β+γ1γ2）2-（b0b2-）＞2b2（2βγ1γ2+b2β2+b1-2b0b1b2+2b0）；

假设4：2b0（b1b2-）＜2βγ1γ2+b2β2+b1，（2b1b2-）（2βγ1γ2+b2β2+b1-2b0b1b2+2b0）＞（-2b1βγ2-2b2β2）（b0b2-）.

假设1 保证了供应链各成员有利可图；假设2 表示产品自身价格对需求量的影响大于其他产品价格的影响；假设3 和假设4 保证了本文所建立模型中的利润函数的凹性。

基于以上描述和假设，制造商1、制造商2 和零售商的利润函数分别建立如下：

2 模型建立及主要结果

在实际供应链系统中，不同企业间规模大小、对市场信息的掌控能力、议价能力等都存在差异，从而导致企业间市场权力的不同，因此企业在进行决策时出现先后次序不同。本节利用博弈理论，分别建立了两个制造商主导的Stackelberg 博弈模型和一个Nash博弈模型。制造商1 占主导的Stackelber 博弈定价，M1-M2-R 模型，制造商2 占主导的Stackelberg 博弈定价，M2-M1-R 模型和Nash 博弈定价。

2.1 M1-M2-R 模型

在博弈模型下，开辟双渠道销售产品的制造商1拥有较大的市场权力，首先决策产品1 的直销价格p0和批发价格w1，其次，制造商2 观察到制造商1 给出的产品1 的价格后，决策产品2 的批发价格。最后，观察到产品1 的直销价格和两种产品的批发价格后，零售商决策产品1 和产品2 的零售价格。供应链各成员以自身利润最大化为目标。

定理1在M1-M2-R 模型下，产品1 的批发价格、直销价格和零售价格及产品2 的批发价格和直销价格为：

证明：将（1）式和（2）式代入（6）式，得：

πr（p1，p2）关于 p1和 p2一阶偏导数分别为：

由假设易知，-2b1＜ 0，|H|= 4b1b2- 4γ1γ2＞ 0，即黑塞矩阵负定，故 πr（p1，p2）是关于（p1，p2）的联合凹函数，从而存在唯一的最大值点。令（13）式和（14）式为零，解方程组即可求得零售商的最优反应函数为：

将（3）式、（15）式和（16）式代入（5）式，计算可得出 πm（2w2）关于w2的一阶和二阶导数为：

由假设 2 可知，-b2＜ 0，易知 πm2（w2）的二阶导数小于零，故πm2（w2）是关于w2的凹函数，因此πm2（w2）存在唯一的最大值点。令（17）式等于零，求解可得：

将（1）式、（2）式、（15）式、（16）式代入（4）式，可得πm1（p0，w1）。πm1（p0，w1）关于 p0和 w1的一阶偏导数为：

由假设 3 易知 A1＜ 0，|H|=A1A4-＞ 0，即黑塞矩阵是负定的。因此，πm1（p0，w1）是关于（p0，w1）的联合凹函数，从而存在唯一的最大值点。

令（20）-（21）式为零，解方程组即可得产品 1 最优直销价格和批发价格。

把（22）式-（23）式分代入（15）式、（16）式和（19）式，即得（9）式、（10）式和（11）式。

2.2 M2-M1-R 模型

本小节假设制造商2 拥有较强的市场权力，在M2-M1-R 情形下，制造商2 首先决策产品2 的批发价格w2，观察到产品2 的批发价格后，制造商1 决策产品1 的直销价格p0和批发价格w1，最后零售商观察到产品1 的直销价格和两种产品的批发价格后，决策产品1 和产品2 的零售价格。供应链各成员以自身利润最大化为目标进行价格决策。

定理2在M2-M1-R 模型下，产品1 的批发价格、零售价格和直销价格及产品2 的批发价格和直销价格为：

式中：

证明：由定理 1 可知（15）式和（16）式即零售商的最优反应函数。将（3）式、（15）式和（16）式代入（4）式，求得关于p0和w1的一阶偏导数分别为：

由假设 4 可知，A6＜ 0，|H|=-b1A6- β2＞ 0，即黑塞矩阵是负定的，因此πm1（p0，w1）是关于（p0，w1）的联合凹函数。令（29）式和（30）式等于零，解方程组即可得制造商1 的最优直销价格和批发价格。

将（3）式、（15）式、（16）式、（31）式和（32）式代入（5）式，计算得出关于w2的一阶和二阶导数为：

由假设 4 可知，A10＜0，因此πm2（w2）是关于 w2的凹函数，从而 πm2（w2）存在唯一的最大值点。令（33）式为零，解得（27）式。将（27）式分别代入（15）式、（16）式、（31）式和（32）式，得（23）式、（25）式、（26）式和（27）式。

2.3 Nash 博弈模型

Nash 博弈情形主要是与市场上中小等规模的制造商和零法售商相关，他们拥有相同的市场权力，可以同时独立以自身利润最大化为目标决策各自产品的价格。

定理3在Nash 博弈模型下，制造商2 和制造商1 的最优批发价格，制造商1 的最优直销零售价格，产品1 和产品2 的最优零售价格分别为：

式中：

证明：由（15）式、（16）式、（19）式、（31）式和（32）式分别给出了产品1 和产品2 的零售价格、制造商2和制造商1 的批发价格、制造商1 直销价格的最优反应函数。联立以上5 式，就可得各自的纳什均衡解。

3 数值分析

由于本文所得到最优定价策略和最大利润解析形式的复杂性，我们无法直接进行比较，得到有价值的管理启示。因此，本节通过数值分析产品自身价格敏感性参数 bi（i=0，1，2）、消费者渠道忠诚度 β 和产品间的互补程度γi（i=1，2）对最优价格和利润的影响。

图1-图6 分别给出了产品自身价格敏感性参数bi（i=0，1，2）对3 个模型下最优价格的影响。

图2 参数b0 对最优批发价格的影响Fig.2 Impact of parameters b0 on the optimal wholesale price

图3 参数b1 对最优零售价格的影响Fig.3 Impact of parameters b1 on the optimal retail price

图4 参数b1 对最优批发价格的影响Fig.4 Impact of parameters b1 on the optimal wholesale price

图5 参数b2 对最优零售价格的影响Fig.5 Impact of parameters b2 on the optimal retail price

图6 参数b2 对最优批发价格的影响Fig.6 Impact of parameters b2 on the optimal wholesale price

图1 和图2 中的参数取值为：a0= a1= a2= 180，c1= c2= 25，b1= b2= 2，β = 0.5，γ1= γ2= 0.3，b0∈（1，5）。图 3 和图 4 中的参数取值为：a0=a1=a2=180，c1= c2= 25，b0= b2= 2，β = 0.5，γ1= γ2= 0.3，b1∈（1，5）。图 5 和图 6 中的参数取值为：a0=a1=a2=180，c1=c2=25，b0=b1=2，β =0.5，γ1= γ2=0.3，b2∈（1，5）。参数取值均满足模型假设条件。通过对图1-图6 分析可得结论1.

结论1：

结论 1（1）和（2）说明，在 3 种情形下，随着产品 1的自身敏感性参数b0和b1减小时，即当消费者对产品1 的品牌忠诚度提高时，该产品的最优价格（直销价格、零售价格、批发价格）会相应增加，而产品2 的最优价格（零售价格、批发价格）会相应降低。结论1（3）说明，在3 种情形下，随着产品2 的自身敏感性参数b2减小时，即当消费者对产品2 的品牌忠诚度提高时，该产品的最优价格（直销价格、零售价格）会相应提高，而产品1 的最优批发价格和零售价格会相应降低，最优直销价格会相应提高。

同样通过数值算例得到参数 β、γ1、γ2对 3 个模型下最优价格的影响。

结论2：

结论2（1）说明，在3 种情形下，当产品1 的渠道替代程度增大时，该产品的最优价格（直销价格、零售价格、批发价格）会相应提高，而产品2 的最优价格（零售价格、批发价格）会相应降低。结论2（2）和（3）说明，在3 种情形下，提高产品间的互补程度，产品的最优价格（直销价格、零售价格、批发价格）会相应降低。

结论3：

结论3（1）说明，在3 种情形下，增大产品自身敏感性参数b0和b1，即降低产品1 的品牌忠诚度或者提高产品2 的品牌忠诚度，可以降低产品1 的直销利润。结论3（2）说明，提高直销渠道产品1 与产品2 的互补程度，有利于提高产品1 的直销利润。降低零售渠道产品1 与产品2 的互补程度和产品的渠道替代程度，有利于提高产品1 的直销利润。

结论4：

结论4（1）说明，在3 种情形下，增大产品自身敏感性参数b0和b1或者减小产品2 的自身价格敏感性参数b2，即降低产品1 的品牌忠诚度或者提高产品2的品牌忠诚度，可以降低产品1 的零售利润。结论4（2）说明，降低产品的互补程度或者提高产品的渠道替代程度，有利于提高产品1 的零售利润。

结论5：

结论 5（1）说明，在 3 种情形下，减小产品 1 的自身价格敏感性参数b0和b1或者减小产品2 的自身价格敏感性参数b2，即提高产品1 的品牌忠诚度或者降低产品2 的品牌忠诚度，可以提高制造商2 的利润。结论5（2）说明，降低产品的互补程度和产品的渠道替代程度，有利于提高制造商2 的利润。

结论6：

结论7（1）说明，在3 种情形下，增加产品的自身价格敏感性参数，即降低产品的品牌忠诚度可以提高零售商直销渠道的利润。结论6（2）说明，提高直销渠道产品1 与产品2 的互补程度或者产品的渠道替代程度，有利于提高零售商直销渠道的利润。降低零售渠道产品1 与产品2 的互补程度有利于提高零售商直销渠道的利润。

结论7：

结论7（1）说明在3 种情形下，增加产品1 的自身价格敏感性参数或者减小产品2 的自身价格敏感性参数，即降低产品1 的品牌忠诚度或者提高产品2 的品牌忠诚度可以提高零售商零售渠道的利润。结论7（2）说明降低产品的互补程度或者产品的渠道替代程度，有利于提高零售商零售渠道的利润。

4 结 论

本文研究了双渠道供应链中存在互补产品时，不同制造商的Stackelberg 和Nash 博弈定价问题。分别建立了不同制造商占主导的Stackelberg 博弈定价和Nash 博弈定价模型，并对模型进行了求解和分析。进一步分析消费者对渠道的忠诚度以及产品的互补程度对产品最优价格和利润的影响。得出的结论是：①当消费者对产品1 的品牌忠诚度提高时，产品1 的最优价格（直销价格、零售价格、批发价格）会相应提高，而产品2 的最优价格（零售价格、批发价格）会相应降低。②当产品的互补程度提高时，产品的最优批发价格会相应降低。③对于开辟直销渠道的制造商而言，提高其产品1 的品牌忠诚度不利于提高其利润。④降低产品的互补程度可以增加制造商2 的利润。⑤提高产品1 的品牌忠诚度和产品的互补程度可以提高零售商的利润。对本文的研究还可进一步考虑生产两种不同互补产品的制造商都开辟直销渠道的情形。