基于状态的维修与备件库存决策联合优化研究*

白永生，郭驰名

（陆军工程大学石家庄校区，石家庄 050003）

0 引言

备件保障工作历来是设备运行与保障领域的研究热点，及时有效地供应维修所需的备件、提高备件的库存利用率，是现代设备管理的重要内容［1］。然而，目前关于备件保障的研究大多是针对事后维修展开的［2-4］，对于考虑预防性维修策略下备件保障决策的研究相对缺乏［5-10］，而对于基于状态的维修（Condition-based Maintenance，CBM）策略下备件库存决策的研究就更少了［11-13］。

基于状态的维修这一概念最早产生于美国，自20 世纪80 年代以来逐步渗透到我国［14］。它基于对故障发展过程的深入认识，通过加强和完善检测监控手段，掌握设备的工作状态和劣化趋势，及时发现问题并采取相应维修对策，将维修从以时间为基础发展到以运行状态为基础，从而避免严重故障的发生，使维修工作变被动为主动。

针对停机损失较大的设备，目前常见的做法是采取定期状态检测的维修方式，即每隔一段时间，就开展一次状态检测，通过设备运转情况来决断维修措施。这种状态维修策略下，如何对备件消耗过程进行分析和定量描述，并科学合理地进行备件库存决策，已成为备件保障领域亟需研究和解决的关键问题［15］。

1 备件库存消耗过程分析

为了科学描述设备的性能状态随运行时间的退化规律，这里引入“延迟时间”的概念。按照延迟时间的概念，可把故障过程分为初始缺陷时间u 和故障延迟时间h 两个阶段。在进行检测时，若发现处于缺陷阶段，就对其进行预防性更换；若缺陷的延迟时间较短，在下一次检测前发展成故障，则对其进行故障后更换，如图1 所示。

图1 基于延迟时间的定期检测策略

可见，在该策略下进行备件更换的时机与传统预防性更换策略下不同，有3 种情形：1）在状态检测时，发现设备仍处于初始时间阶段，此时不进行备件更换；2）在状态检测时，发现设备处于延迟时间阶段，此时进行备件更换；3）在状态检测之前，设备发生功能故障，此时进行备件更换。

图2 为定期检测策略下备件库存的消耗过程。显然，该备件系统在订购期内的库存可能出现两种情况：1）订购期内的备件实际需求量小于备件库存量，订货时有剩余备件库存；2）订购期内的备件实际需求量大于备件库存量，订货之前出现缺货。

图2 定期检测策略下备件库存消耗过程

本文的研究目的就是，通过联合优化3 个变量：最大库存水平S、状态检测周期Tn和库存补充时机t0，获取合适的检测时机和备件库存策略，从而使得备件系统单位时间的维修保障费用最低。

2 备件系统维修保障费用分析与建模

上面分析了备件库存消耗过程的两种情况，与之相对应，在备件供应过程中所需的费用也有两种情况：一是到达订购期t0时备件仍有剩余，此时备件系统产生的费用包括预防性更换费用、故障后更换费用、库存费用、订购费用、备件成本；二是到达订购期t0前备件已消耗完，此时备件系统产生的费用除上面5 类费用，还有因缺货造成的损失费用。

2.1 维修保障费用分析

2.1.1 库存有剩余时

若经过仿真，到达订购期时t0库存有剩余，则可得到在订购期［0，t0）内总的检测次数Ni，每次更换的时刻Ki，以及进行备件更换的总次数N（其中预防性更换次数和故障后更换次数分别为Np、Nf）。

因此，各项费用可表示为：

再加上库存补充时机的预防性更换费用cp，可得一个订购期内的总费用为：

2.1.2 库存缺货时

若经过仿真，到达订购期t0前库存已缺货，可知在［0，t0）内进行备件更换的次数N=S，且最后一次更换后没有运行到补充库存，发生故障的时刻为KS+1（KS+1＜t0）。根据仿真得到的检测次数Ni，每次更换的时刻Ki，以及备件预防性更换次数Np和故障后更换次数Nf，可将各项费用表示为：

再加上库存补充时机的预防性更换费用cp，可得一个订购期内的总费用为

2.2 基于仿真的维修保障费用建模

由于备件库存消耗过程较为复杂，采用解析建模的难度大，这里采用仿真的方式对上述过程进行描述与量化，其主要步骤如下（如下页图3 所示）：

Step1：仿真过程与参数初始化，根据设备的实际使用情况，给定其从投入使用到出现性能退化的时间、从性能退化发展到功能故障时间的分布函数及参数、最大库存水平S、状态检测周期Tn和库存补充时机t0，以进行后续过程的仿真优化。

Step2：产生第1 个备件的初始时间u、延迟时间h。分别给定其分布形式与参数，通过运行编制的计算机程序，可以得到该备件的寿命t=u+h。

Step3：结合状态检测策略，判断备件后续的工作和维修情况。如果t＜Tn，说明其不能工作到后面第1 次状态检测时刻，会在之前发生故障，此时进行故障更新，产生备件消耗，Nf会增加1 个，备件系统累积工作时间tS增加t。反之，需要继续判断备件是发生检测更新还是故障更新。

Step4：当t≥Tn时，判断u 与Tn的大小关系。如果u＜Tn，说明第1 次状态检测时检测出异常，进行预防性更换，产生备件消耗，Np会增加1 个，备件系统累积工作时间tS增加Tn；否则，还需结合h 的大小判断后续是发生检测更新还是故障更新。

Step5：令Z=∣u/Tn∣，若u+h ＞（Z+1）Tn时，说明在进行第Z 次状态检测时发现异常，进行预防性更换，产生备件消耗，Np会增加1 个，备件系统累积工作时间tS增加（Z+1）Tn；否则，说明在进行第Z+1次状态检测时发生故障，产生备件消耗，Nf会增加1个，备件系统累积工作时间tS增加t。

Step6：继续产生随机数u、h，直到备件系统工作时间达到库存补充时机t0，可获取检测更新次数Np，故障更新次数Nf，以及每次更新的时刻。这样可根据上面建立的数学模型，计算得到该设备备件系统的维修保障费用CTotal。

3 基于状态的维修策略与备件库存决策联合优化算例

为了验证模型的有效性，通过一个算例对其进行检验。假定某系统中设备具有性能退化的过程，适宜采取基于状态的维修策略，已知其初始缺陷时间和故障延迟时间均服从Gamma 分布（其中α 为尺度参数，β 为形状参数），其各项参数和费用取值如下页表1 所示。

现利用计算机进行仿真，仿真次数N 取3 000，可得到备件系统的维修保障费用，然后对各决策变量进行优化。

首先给定S=5，t0=300 d 时，可优化最佳的检测间隔期Tn=35 d，所对应的期望费用值为239.622 5 元/d，如图4 所示（45 页）。

图3 状态检测策略下备件消耗仿真过程

然后，只给定t0值为300 d，对S 取不同值，下页表2 显示的是对应的检测期Tn和期望费用最优值。可知此时当S=4 个，Tn=70 d 时，对应的费用最优值为208.660 5 元/d。

表1 算例中各参数的取值

图4 当S=5，t0=300 d 时，期望费用值关于检测期Tn 的二维图

表2 t0=300 d 时，不同库存最大值S 对应的检测期Tn 和期望费用最优值

同样，对备件订购间隔期t0取不同的值，然后进行优化，见表3 所示。可见，当t0=280 d 时，对应的S=3 个、检测期Tn=90 d，费用最优值为208.092 9 元/d。

表3 对订购间隔期t0 取不同值时，对应的库存最大值S、检测期Tn 和期望费用最优值

4 结论

本文针对需进行定期功能检测的设备，研究并建立了其基于状态的维修策略与备件库存策略联合优化模型，对设备功能检测周期、备件最大库存水平、备件订购周期等决策变量进行了联合优化；同时，为了验证模型的有效性，通过算例对其进行了应用验证。需要说明的是，鉴于模型求解的复杂性，本文主要是采用仿真的方式进行结果的计算。在后续的研究中，可针对仿真自动寻优、运算效率等做进一步的探索。