浅析多元函数的求导

孙珊珊

【摘 要】多元函数的求导是学习高等数学中必须要掌握的一个点，同时它也是一个难点。本文就来简单介绍一下多元函数的类型与多元函数的求导法则。研究多元函数的求导能让我们提升自己的逻辑思维能力和数学素养。

【关键词】多元函数;求导

【中图分类号】B032.2

在解决许多问题的时候，往往都要使用到函数来解决问题。但如果只使用只有一个自变量的一元函数解决问题，有着很大的局限性，因为很多实际问题都牵扯到很多方面的影响，在数学中就是一个变量依赖于多个变量的情况，所以便引入了多元函数的概念。在高等数学中，多元函数的求导也是很重要的一环，同时呢，与一元函数不同，多元函数的形式多样，多元函数的求导会繁杂许多，那么掌握多元函数求导的关键、分析各种多元函数的类型就特别的重要。本文就简单的分析一下多元函数的类型，并介绍相对应的求导方法。

多元函数的求导

在一元函数中，因为只有一个自变量，所以可以直接求导。而多元函数的自变量不止一个，至少有两个，自变量和因变量的关系要比一元函数复杂的多，所以多元函数求导有很多種。

一.偏导数

偏函数就是先考虑多元函数中某一个自变量的变化率，也就是偏某一自变量求导，使用偏导数是多元函数求导的基础。

四.复合函数

首先我们要清楚复合函数的定义：假设y是u的函数，u又是x的函数，那么就有y=f（u），u=g（x），即y关于x的函数就有y=f [g（x）]，这个函数就叫做函数y=f（u），u=g（x）的复合函数，其中x就是自变量，a就是中间变量，y就是函数值。

在一元复合函数中的求导有链式法则：它们的函数关系是y对应u，u对应x。

链式法则在多元复合函数中同样适用，以下就是利用该规则求导的基本步骤。

（1）弄清函数之间的关系，明确有几条路径

（2）按照连式法则写出式子（有几条路径就是几部分的和就是各个路径之间相加，路径的每段对应的导数用乘法连起来，分段相乘）。

（3）计算那么在这里我们还要特别注意到如果是一元函数关系就用直立的导，如果是多元函数关系就用偏导。

1.多元函数和一元函数复合（两个或以上中间变量，一个自变量，中间变量为一元函数）

假设函数和都在x点可导，那么函数就在对应点（u，v）上具有连续偏导数，复合函数就在对应点x可导.

在中，u和v都是有关于自变量x的一元函数，那么复合函数就有两个中间变量，中间变量对自变量的导数是一元函数导数，所以就有以下求导公式其中称为全导数。

如果f，u，v都是具体给定的的函数，那么求全导数我们可以直接将中间变量用最终自变量换进去让它变成一元函数后，通过对一元函数求导就能求出最后结果

例题2：假设函数，其中，可导，求。

解：首先我们要分析其中的函数关系，中间变量是有两个，即x和y，x和y是关于t的函数其中可导，中间变量是一元函数。所以就用公式： 另外：假设题目中的中间变量不仅有两个，出现的函数关系，那么我们可以把以上公式改为，同理运用公式便可轻易解出题目。

2.多元函数和多元函数复合（两个中间变量，两个自变量，中间变量为多元函数）

假设和在点都有对x和y的偏导数，同时函数在对应点都具有连续偏导数。则复合函数在对应点上的两个偏导数存在，即可用以下公式：

3.三个中间变量两个自变量（中间变量既有一元函数也有多元函数）

假设有函数关系，其中，且具有一阶连续偏导数，那么复合函数对自变量x和y可求偏导数，公式如下：

总结

数学是原始人类在长期的生活和生产实践中逐渐形成的，具有严密的逻辑性和高度的抽象性。而多元函数作为数学中不可缺少的一部分，其重要性不言而喻。通过利用偏导数，高阶偏导数，全微分，多元复合函数，多元函数的隐函数这些知识来对多元函数进行求导，熟悉掌握对多元函数的求导后，可以解决实际生活中许多复杂的问题，提高自己的逻辑思维能力和数学素养。

参考文献：

[1]同济大学数学系. 高等数学第七版上册[M]. 北京：高等教育出版社，2014.

[2]刘隆复. 数学分析习题讲义：多元函数部分[M]. 吉林大学出版社，1986.

[3]艾立新. 具有复杂函数关系的多元函数求导法[J]. 军需工业高等专科学校邢台高等职业技术学校学报，1997.

（作者单位：广州工商学院基础教学部）