可分离变量微分方程教学再设计①

2020-01-07董艳

科技创新导报 2020年31期

董艳

(陕西铁路工程职业技术学院陕西西安 714000)

1 教学内容分析

可分离变量微分方程是常微分方程中的一种重要类型，学好它对于后续知识的掌握起着关键作用。本节课是建立在上节课微分方程概念的基础上的，因此课前首先借助卡片排序法复习6个概念；其次以名为“蛟龙号”的案例作为课堂引入；接着设置一系列前后衔接的问题，主要通过引导法展开新课讲解；再次以解题的逻辑思维为抓手，借助蓝墨云进行例题讲解；再接着是课堂练习-触类旁通环节，在此环节中设置“旋转木马”的活动，达到学生对知识掌握的目的；接下来是乘胜追击环节，设置“大家一起来找茬”这个活动，目的是让学生从细节着手，找到问题的易错点，熟练掌握本节课的内容；有了前面的铺垫，课前案例的解答已是得心应手，因此在课程结束之前对此案例进行求解，并对其结果进行分析，在分析中，联系到了“大国工匠”精神，升华了课堂主题，从课程思政的角度达到了教书育人的目的；为了巩固课堂内容和拓展知识，课后布置了两道思考题，以蓝墨云实时监控课后延伸环节；最后是课堂小结和课堂评价，课堂评价采取多种评价方式，有效地保障了课堂效果。

2 教学重难点（及措施）

2.1 教学重点

（1）可分离变量微分方程的一般形式。

（2）可分离变量微分方程的求解方法。

2.2 教学难点

利用三步走的方法求解可分离变量微分方程的能力。

2.3 重、难点突破措施

2.3.1 创设情境，案例驱动

通过视频观看案例，巧遇实际问题时该如何作答，提出疑问，激发学生学习欲望，从而引出本节课的教学重点，学生自发地深入学习本节课的重点。

2.3.2 分析严密，逐层推进

通过对可分离变量微分方程的一般形式的分析，自然过渡到它的求解方法上，自然衔接；创设问题，逻辑性强。

2.3.3 双活动驱动，攻克难点

设置旋转木马活动时，要求两组学生形成内外两圈，互相查找问题纠错，查漏补缺，直至找到正确的做题思路，期间老师作为旁观者主要任务是归纳学生的问题，最后进行点评和补充，对于同类型问题寻找规律，便于学生自己纠错，提高做题效率。

设置大家一起来找茬活动时，要求一组做其中的一个题目，然后老师随机找一个学生的答案（一般是老师观察做的不是很好的学生）作为大家“找茬”的对象，期间每答对一个给学生加分，但是给小组实行扣分措施，加减分通过蓝墨云进行，这样一荣俱荣，一损俱损，提高学生的责任意识，培养集体主义精神。

3 课程教学创新点

（1）以卡片排序法作为复习手段，快速建立学生逻辑思维能力。

（2）以科技前沿的“蛟龙号”最为课堂引入案例，培养学生爱国主义情怀。

（3）设置“旋转木马”和“大家一起来”课堂活动组织形式，实现以学生为中心的教学理念。

（4）将“大国工匠”精神作为案例小结的延申点，将思政融入课堂，达到教书育人的目的。

4 教学过程

4.1 复习旧知

同学们好！本节课我们要学习的内容是可分离变量的微分方程。首先复习一下上节课的内容，那上节课我们学习的内容是什么呢？（可分离变量的微分方程），那好，我将上节课的概念制作成了卡片的形式，现在我的手中有6张卡片，请大家以小组为单位对这6张卡片按照逻辑先后顺序进行排序，并将排序的结果摆放在桌面上，要求1min之内完成。好，现在开始。如果哪个队确定已经完成，请举手示意，我们给先完成的组加1分。

接下来我将这6张卡片随机分发给几名学生，当我回顾到这个概念时，请拿到相应卡片的同学帮我们解释下。

4.2 课堂引入

本节课将以一个案例作为课堂引入重点学习它的一般形式和求解方法。首先来看一段视频：（播放视频）

近日，历时15个月完成技术升级的蛟龙号在青岛国家深海基地管理中心亮相，它是我国载人深潜历程中的一个重要里程碑！蛟龙号计划于2020年也就是明年的6月份到2021年6月执行环球航次。此刻，我们由衷地感叹到：厉害了，我的国！让我们也预祝这次环球航行圆满成功！接下来看一个具体问题：（读题）

现在请同学们以小组为单位在组长的带领下探讨一下这个问题该如何解决呢？完了之后请一名同学谈下他们小组的思路。

4.3 新课讲解

好！这就是一个可分离变量的微分方程，究竟什么是可分离变量微分方程呢？顾名思义, 可分离变量微分方程就是变量可以分离的微分方程，那么在常微分方程中，变量有几个呢？（两个），分别是：x和y,自变量和因变量，注意：我并没有说x和y，因为并不排除这两个变量用其它字母替代，比如刚才这个案例中，自变量是谁，因变量是谁，变量可以分离意味着自变量和因变量可以分离，究竟怎么个分离法？接下来我们来看下它的一般形式：可分离变量微分方程的一般形式为：让我们来分析下这个式子：首先来看等号右边，对于f(x),大家比较熟悉，它是关于x的一个一元函数，可是g(y)是什么意思呢，在这里y是x的函数，外层的g也是一个函数，那么相当于一个函数g里面又套了一个函数，那么g(y)就是关于x的一个复合函数（学生回答），再来看等号的左边，dy/dx是什么意思呢？学生回答：是y对x的导数，对，它是导数也就是y撇，注意：在这里，dy/dx除了可以看成一个整体表示y对x的导数之外，它还有另外一层身份，就是表示两项之商，也就是y的微分与x的微分之商，正因为它的这层身份才保证了y与x可以做变量分离，也就是将f(y)与dy写到一起，f(x)与dx放到一起，这样以来，可分离变量的一般形式就可以恒等变形为：，分离变量之后然后怎么做呢？接下来我们来看下它的求解方法：可分离变量微分方程求解分三步走：第一步：分离变量，第二步：两边积分，只需在第一步的基础上两边各添一个不定积分号即可。最后，求出这两个积分即得通解为：G(y)=F(x)+C,其中G(y)，F(x)分别为1/g(y)，f(x)的一个原函数，那么最后一句话告诉我们，

从第一步到第二步做起来很容易，可是要做证明并不简单，在这里我们只来验证下G(y)=F(x)+C是否为原方程的通解呢？

4.4 课堂举例

接下来看一个具体的例子：它是一个可分离变量微分方程吗？是，那么f(x)是谁呢？g(y)呢？好！认清楚形式之后，接下来按照它的求解方法分几步走。三步.第一步：分离变量，其中d(y)和谁结合呢？那f(x)自然就和6x结合，第二步两边积分和第三步求出积分均采取在教师的引导下学生回答的形式进行。

4.5 课堂练习

课堂练习部分，首先让学生在限定的时间内独立完成这三道题目，其次让学生离开座位来做一个旋转木马的活动，两个小组围成内外两个圈，然后让内圈的学生面对外圈的学生，两人一组进行对照学习，互相纠错，找到自己的问题，然后让外圈学生顺时针旋转，内圈学生逆时针旋转，再相互交流互相对照过程和答案找到自己的问题当场纠正，这个时候老师应该加入进来但是不要打扰学生只是倾听，待活动结束后：

好！现在同学们各自回自己的座位，通过刚才的互相找问题阶段，我了解到大家存在的问题主要有以下几个方面：（1）不会积分；（2）不是指数对数之间的互化，虽然这两个知识都是以前学习的内容，但是现在有所遗忘，应该重新捡拾起来存在的第三个问题是有的同学两边同时出现加C，如果两边加常数，一个用C1，另一个用C2表示，但是我们最后把所有能和C1C2合并的常数都合并为右边一个C上去，第四个问题是有同学加上对数后面加了绝对值，我们说这里应该加上绝对值，只是因为绝对值若能化简的话，出现的正负号就和常数C合并了，因此，以后在求解常微分方程时，若出现了ln的原函数形式，在最终结果能化简的情况下，绝对值可以去掉，不会影响结果。但是这里注意，最后的结果中必须不含有ln才可以这么做。

4.6 乘胜追击

首先让学生观察，第一个问题的g(y)是1要求第一小组做第一个题，第二个小组做第二个题目，这个问题大家在做的时候遇到问题可以讨论，此环节采取大家一起来找茬的形式进行，首先教师在蓝墨云中分好组，建立上传任务，学生做完之后随机抽取每个小组的一名学生作为上传的对象，然后所有同学一起来找问题，每找到一个问题小组每个成员扣一，找到问题的同学加两分。