直纹曲面直母线的若干探究
2020-01-05王楠
王楠
[摘 要] 主要探究单叶双曲面方程的两种不同变换对直母线的影响，并通过实例加以验证。另外对不同类型的曲面，给出直母线的族数与参数个数的确定方法。
[关 键 词] 单叶双曲面;直纹曲面;直母线
[中图分类号] O186.11 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2020）10-0190-02
单叶双曲面是直纹曲面，通过代数的方法将其方程改写成直线的一般方程，得到了u族、v族直母线。但其方程的改写方式有两种，会不会对直母线有影响？解析几何课本上都没有给出说明，针对这个问题，本文首先给出了方程的两种改写方式，然后通过实例验证，总结出了两种不同变换方法对直母线的影响。另外，直纹曲面的直母线个数及参数个数该如何确定，本文总结出了三种类型。希望本文的内容对学习者来说，能够解决困惑，有一定的参考价值。
一、单叶双曲面方程两种不同变换形式
推论1 对于单叶双曲面上的点，两族直母线中各有一条直母线通过这点。
推论2 对于单叶双曲面上的点，两种不同变换方法，不改变直母线个数，但u，v族直母线互换。
二、实证分析
例：通过两种不同变换方法，求过单叶双曲面=1上的点P（10，3，4）的直母线方程，并指出其特征。
把点P（10，3，4）分别代入上面方程，求得w∶u=1∶2与t=0
代入直母线方程，化简，得过P（10，3，4）的两条直母线分别为：
u族直母线方程为l1：6x-20y+15z-60=06x+5y-15z-15=0
其方向向量为：={6，-20，15}×{6，5，-15}={225，180，150}=15{15，12，10}
v族直母线方程为l2：2x-5z=0y-3=0
其直线的方向向量为：2，0，-5}×{0，1，0}={5，0，2}
变换方法
把点P（10，3，4）分别代入上面方程，求得w∶u=1∶1与v∶t=-3∶1
代入直母线方程，化简，得过P（10，3，4）的两条直母线分别为：
u族直母线方程为l3：6x-10y+15z+30=06x+10y-15z-30=0
其直线的方向向量为：3={6，-10，15}×{6，10，-15}=60{5，0，2}
v族直母线方程为l4：18x-10y-15z-90=02x+10y-15z+10=0
其直线的方向向量为：{18，-10，-15}×{2，10，-15}=20{15，12，10}
可以发现，又因为直母线过同一点P，故l与l4表示同一条直线，l2与l3表示同一条直线。从而可得出：（1）过曲面上点P的直母线只有两族，与变换方法无关;（2）两种不同变换方法，u，v族直母线互换。
三、二次曲面是直纹曲面的必要条件
其方程能转化为：f1（x，y，z）·f2（x，y，z）=g1（x，y，z）·g2（x，y，z），其中f1，f2，g1，g2均是关于x，y，z的一次多项式或常数。
四、直母线族数与参数个数的确定
（i）两族直母线，两个参数
（ii）两族直母线，一个参数
参考文献：
[1]吕林根，许子道.解析几何[M].4版.北京：高等教育出版社，2006：175-182.
[2]李养成.空间解析几何[M].北京：科学出版社，2010.
[3]黄宣国.空间解析几何与微分几何[M].上海：复旦大学出版社，2003：34-35.
◎編辑 陈鲜艳
