高中生数学运算素养培养途径探微

巫瑶 汤强

【摘要】在高中数学新课标的背景下，新提出了数学的六大学科核心素养，数学运算就是其中之一 .而数学运算素养主要体现在理解运算对象、掌握运算法则、探索运算思路以及分析运算结果这四个方面，这四个方面是高中生数学运算素养培养的有效途径.

【关键词】 高中生;数学运算素养;培养

《普通高中数学课程标准（2017年版）》中新提出的六大数学学科核心素养分别是数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析[1].其中数学运算反映的是数学学科的基本特征，也是解决数学与其他学科问题的基本手段.数学运算是学习数学的奠基石，它是数学思维的过程，培养学生运算的核心素养是学好数学的关键.

学生数学运算能力的培养体现在数学学习的每一个阶段，学生的运算能力直接关系着学生数学的整体水平.在新课程标准中，将数学运算作为数学核心素养之一，并明确数学运算素养是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养，而它主要表现在理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路以及求得运算结果[1].数学运算是数学活动的基本形式，其中蕴含着“演绎推理”的重要数学思想.

数学运算是不受个人的主观意识控制的，它是由公式、定理本身的客观规律推动前行的.数学运算不仅能使学生具有更加条理化、清晰化的思维，比如对于解决一个问题，学生能清晰明确地知道先算什么，再算什么，最后算什么.除此之外，运算还能够培养学生的耐心、意志力与创新思维能力，特别是遇到比较复杂的运算，比如，在高中学习的解析几何中，是用代数的方法来解决几何问题，这样虽然让运算思路得到简单化，但是其中的运算过程却更加复杂，这时就特别考查学生运算的耐心以及创新思维.学生的数学运算能力不单单是对数学这一个学科有影响，在物理、化学乃至生物的学习中也会涉及数学运算方面的问题，可以看出数学运算素养可以充分体现一名学生的整体素养.因此教师在课堂教学中如何培养学生的运算素养以及从哪些方面培养成为一线教师以及教学研究者们非常关注的话题，而我将从数学运算素养的四大主要表现来浅谈教师应如何在教学中培养学生的运算能力.

一、理解运算对象：运算素养培养的起始点

要想解决一个运算问题，不管采用何种运算方法，前提都是正确地理解问题的运算对象.而理解运算对象的一个重要标准是：能否准确地用自己的语言对运算对象进行表述，从不同的侧面多角度地进行表征运算对象，从而得到不同的运算思路[2].因此教师要去开拓学生的思维方式，让学生深刻理解问题的本质，最终探索出不同的运算思路与方法技巧.

例如，在数列中求an 时，若题中已知Sn ，大部分学生都知道用an=Sn-Sn-1 ，但对于部分学困生来讲，可能知道这个式子的大概形式，而在实际运用时可能就会用成an=Sn+1-Sn，或者根本不会去考虑运用an=Sn-Sn-1时需要满足条件n≥2 且n∈N，这部分学生就是对式子的本质没有理解透彻，不知道这个式子是如何得来的，为什么是an=Sn-Sn-1，而不是an-1=Sn-Sn-1，部分新任教师在教学中容易忽略这方面的讲解，可能认为这是个显而易见的事实，学生能够直接理解，根本不需要给学生过多地解释式子的由来，但针对部分学困生而言却真的会出现上述问题，因此这就要求教师在教学中注意讲解该式的由来，让学生理解该式中的数学本质，正确理解运算过程中的运算对象，而非让学生死记硬背.

再如，在△ABC 中，a，b，c 分别为角A，B，C 所对的边，若a=2bcos C，请判断此三角形的形状.

经过分析，此题是一个关于解三角形的问题，其中涉及正弦定理与余弦定理的应用，但在具体问题中学生却很难抉择出到底该应用哪一个定理来解决该问题.事实上，针对不同的运算对象有着不同的运算思路，以下分别以角和边作为不同的运算对象来分析问题.

（1）若从角入手，解题思路就是将三角形中的边全都转化为对应的角来表示，即sin A=2sin Bcos C ，再利用A+B+C=π， 有sin A=sin（π-B-C） ，再由三角函数诱导公式以及两角和（差）的正弦公式，得到sin（B-C）=0，以此判断出该三角形是等腰三角形;

（2）若从边入手，则需将其中所涉及的角全都转化成用边来表示，即a2b=a2+b2-c22ab，经过化简，得到b2-c2=0 ，以此判斷出该三角形是等腰三角形.

数学运算的切入点是要正确地理解运算的对象，数学的运算对象可以是数、字母、角度、向量、集合、函数等，这些运算对象的来源一方面是其他学科与现实生活的抽象，另一方面是对数学运算对象的概念、定义以及表示的理解，而此题的运算对象可以视为字母（边长）或者角，虽选择的运算对象不同，解题思路也不同，但都可以成功地解决此题.然而有部分题针对理解的运算对象不同，就会使其运算过程难易程度不同，准确深刻地理解运算对象，从而把握问题运算的本质.因此正确地理解运算对象是培养学生数学运算素养的起始点.

二、掌握运算法则：运算素养培养的着力点

运算法则是确保运算结果具有唯一性的重要保障，掌握各种运算的运算法则，是培养学生数学运算素养的着力点.然而这就要求学生要熟练掌握数学中的基本概念、法则、公式、定理等，使之成为运算过程中的重要依据.数学中的基本概念、法则、公式、定理都是我们所谓的基础知识.俗话说“根基稳，修建的房屋才不会塌”.拥有扎实的数学基础，是学好数学的必要条件.因此，掌握好这些数学的基本知识可为后续数学的学习奠定一定的基础，也能使学生更好地去分析、解决问题.

例如，在△ABC中，a，b，c 分别为角A，B，C 所对的边，C=π4，a=2，S△ABC=2，求3a-b+2c3sin A-sin B+2sin C的值.

基础较差的学生可能会直接将其中的“a，b，c”换成“sin A，sin B，sin C ”，答案直接得出为“1”，究其原因就是这部分学生没有正确把握三角函数运算的法则，这也符合俄国心理学家巴普洛夫的条件反射理论，在以往解三角函数的问题中，都是直接将“a ”变为“sin A ”，从而直接解决问题，因此学生在解决此题时甚至都没看清楚题意就直接将“a ”用 “sin A ”替代，这是因为在以往做题时极大部分都是将其直接进行替换，因此在学生心中就形成了一种惯性思维，认为“a=sin A ”，根本没有想过原来做题的过程中为何可以直接将“a ”用 “sin A ”替换，这就是对正弦定理的变换掌握不透彻，从而导致运算出错.因此教师在此部分的教学中就要通过多种途径来让学生充分地理解各种运算法则，掌握数学的基本理论知识，从而让学生进一步加深对算法以及算理的理解.

三、探索运算思路：运算素养培养的突破點

运算思路是成功解决问题的途径，只有正确的思路才能成功地解决相关问题.但运算的思路不只是单就一个题而言，更多的是针对一种类型的题.不同的运算思路涉及不同的运算量，有部分学生可能对问题有一定的认识，有一点思路，但并不是最佳的思路，导致运算量极大，最终运算无果.因此只有在平时练习时不断地思考，并从多方面去探索解题的运算思路，最终才能寻求到最佳的解题途径.

例如，求y=x-5+24-3x的值域.

思路1 高中阶段的学生学完导数后，都是直接对函数f（x）求导，利用函数单调性与极值，最后求出函数的值域.这种方法也是大部分学生能想到的唯一解题方法，学生在解这一类型的题时被定势思维所影响，只想着用当下学到的知识去解决问题.此题用函数求导法求解，其中对含有根号的函数求导计算量相对来讲比较大，很多基础不太好的学生在求导中很容易出错，最终导致解题无果.但此法可以更好地培养学生利用函数思想解决问题，并且正因为根号的参与，能够更好地培养学生的运算能力.

思路2 设法利用换元思想来消去式子中的根号，令u=x-5 ，v=24-3x，这样将求函数值域问题转化成求y=u+v 这条直线与椭圆u23+v29=1（u≥0， v≥0） 在第一象限有交点时，y 的取值范围，如图.用数形结合的方法，简化了其中的运算过程，使计算量大大减少.虽然这种思路比第一种思路的运算量少，并且也好理解，基础较差的学生也能很好地掌握，但是学生自己做时却很难直接想到，这就需要教师在平时的教学中去有意识地引导，与学生多交流沟通，启发学生多角度思考问题，从而找到不同的解题途径，最终选择最佳方案.

探求不同的运算思路能够优化运算过程，从而寻求到最佳的解题途径.成功地探索并且理解到解决问题的思路，最终才能掌握一类问题的通法.有了最佳的运算思路，就可以合理地选择适当的运算方法，设计恰当的运算程序，从而得到正确的运算结果，探索运算思路是培养学生数学运算素养的突破点.

四、分析运算结果：运算素养培养的固化点

在求得运算结果后，要分析其算出的结果是否符合事实，最终的结果不能违背客观事实，特别是在求解实际应用题时，就一定要分析所解得的运算结果是否符合实际情况，这是学生非常容易忽略的一点.部分学生一味地只顾着算，算出结果就不管了，根本没去考虑运算结果是否符合实际，这就缺乏对数学的严谨性.我们的数学学习更多的是要运用到生活中去，因此对运算结果进行分析是培养学生运算素养的固化点.

很多学生在高中阶段的运算能力都比较薄弱，因此这就需要教师在教学过程中重视培养学生的运算能力，特别是在解析几何的教学中，解析几何是用代数方法来研究几何问题，虽然表面上将几何问题简单化，但其中却增加了学生的运算量.这就要求教师在教学中要注意引导学生在代数运算中的计算技巧以及让学生知道哪些是需要注意的地方，让学生感受到解析几何问题是可以轻松解决的，否则将会出现学生解题思路清晰，但在实际运算时却出现许多问题.

新课标下的数学运算素养是反映数学学科的基础特征，教师必须对如何培养学生的运算素养引起重视，将此作为目标渗透到每一个课堂教学中，尤其是高中阶段.学生可能掌握了理论知识，但在实际运算时常出现问题.因此这就要求教师需要关注学生自身的发展，并结合实际情况来设计教学活动，为高中学生营造一种良好的学习氛围，提升每位学生的数学运算能力，培养学生的数学素养.

【参考文献】

[1]史宁中，王尚志.普通高中数学课程标准（2017年版）解读[M].北京：高等教育出版社，2018.5

[2]石明荣.“核心素养”中“数学运算”素养的内涵与实践研究[J].中学数学，2017（05）：26-27.

[3]王强国.数学运算能力的内涵、要求及提升路径[J].中小学教师培训，2018（11）：48-53.

[4]刚道明.高中数学运算核心素养的培养[J].科技经济导刊，2018，26（30）：175.

[5]徐健.关注运算能力 培养核心素养[J].中学数学教学参考，2018（23）：64-66.

[6]陈建叶.浅议数学运算能力的培养[J].高中数学教与学，2018（16）：1-4.