指数平均不等式的证明与运用

陕西省汉中市镇巴中学(723600) 刘再平 李 靖

对于实数a,b,且a̸=b,定义为a,b的指数平均数,则.

证明先证指数平均不等式的右边,如下：

不妨设a＞b,即a-b＞0,ea-eb＞0,要证不等式的右边,即证a-b＞,则证换元,令a-b=t＞0,所以需证构造函数即证f(x)＞0.求导得即f(x)为(0,+∞)上的增函数,则f(x)＞f(0)=0,不等式右边得证,同理可证不等式左边.

综上述所,指数平均不等式链得证.

上述指数平均不等式有着优美的几何意义,即“无字证明”,如下：

图1

图2

如图1,曲边梯形面积大于直角边梯形面积,即S曲梯＞S直梯,所以,即ea-eb＞则故不等式左边得证;

如图2,直角边梯形面积大于曲边梯形面积,即S曲梯＜S直梯,所以,即ea-eb＜,则,故不等式右边得证.

综上述所,指数平均不等式链得证.

运用上述指数平均不等式可以简解下述函数与导数压轴题.

例1已知函数f(x)=ex,x1,x2∈R,且x1̸=x2,若求k的取值范围.

解由题不妨设x1＞x2,即x1-x2＞0,所以由指数平均不等式|k|(ex1+ex2),又ex1+ex2＞0,所以,即或.

点评此题运用指数平均不等式的右边恰到好处的放缩了原不等式,快速的获得了关于参数k的不等关系,简洁的求得了k的取值范围.

例2(2013年高考陕西理科压轴题)已知函数f(x)=ex,x∈R.

(Ⅰ)若直线y=kx+1与f(x)的反函数的图像相切,求实数k的值;

(ⅠⅠ)设x＞0,讨论曲线y=f(x)与曲线y=mx2(m＞0)公共点的个数.

(ⅠⅠⅠ)设a＜b,比较的大小,并说明理由.

解(Ⅰ)k=;

(ⅠⅠ)当 0＜m＜时,无公共点;当时,有1个公共点;当m＞时,有2个公共点.

点评此道压轴题的压轴问只需要将题意翻译之后,便是指数平均值不等式的右边,问题迅速解决.

学习数学就要善于解题,数学解题的工具是双基,正如波利亚所说：“货源充足和组织良好的知识仓库是一个解题者的重要资本”,也就是说知识面越广对数学解题的帮助势必越大,而此文阐述的指数平均不等式虽然教材上未曾提及,然而无疑是解决相关高考压轴题的好工具.