挖掘复习课蕴含的数学思想和策略——《多边形的面积》复习课教学

董红鸽 朱银枝

随着课程改革的持续推进，新的理念已经深入人心，一线教师能做到把培养学生的“四基”放在心上，想尽各种办法试图落实在课堂学习中，在听课、评课中，总能听到教师们设计的最终宗旨是“为学生的终身发展奠基”这样的说明。纵观诸多教师复习课的教学状况，总感觉知识的重复再现多，数学学习的“灵魂”欠缺。我认为数学教学的“灵魂”应该是学生在复习和整理数学知识的同时，感悟出解决数学问题的策略，学到了哪些归纳知识的方法，数学是从哪些角度如何认识事物的等。但遗憾的是有些复习课看不到这样知识升华为能力的过程。究其原因，是教师没有挖掘出数学知识背后蕴含的思想方法，不知道怎样导引学生琢磨、找寻解决问题的策略。为此，我在复习课中就如何渗透数学思想方法和策略做了深入思考，并进行了大胆实践，现与大家交流。

一、在整理知识中升华对数学思想方法的理解

每单元知识学完之后，一般要对本单元内容进行归纳与整理，如果仅仅是重复已学过的知识点，学生会感到索然无味，我认为在这样的单元复习中，教师更要潜心研究贯穿数学课的两条线，一是学生们比较清晰的数学知识点这条明线，二是隐藏在知识背后的数学思想方法这条暗线，只有两线并举，才能达到掌握知识和提升能力的目的。下面是北师大版五年级上册多边形的面积复习课，我进行了如下课堂实践：

师：我们用将近两周时间学习了多边形的面积这一单元，请把这一单元的内容进行整理和复习，现独立思考，再汇报结果。

生1：

生2：

生3：

师：你比较欣赏哪个同学的结果？为什么？

生：我认为第三个同学总结得比较好，他把学过的知识都总结了，还总结出了获得这些知识的策略，转化的方法。

师：有时候隐藏在知识背后的思想方法比知识本身有更多的用处，比如：在推导多边形面积的过程中，用到的转化的思想，把没有学过的图形转化成已经学过的图形，使未知变成已知，从而解决问题。这种转化的思想在数学课中经常用到，想一想，还有什么地方用到转化的思想？

生：小数乘法的计算就是把小数乘法先转化成整数乘法进行计算。

生：除数是小数的除法也是用转化的方法把除数转化成整数进行计算。

……

师：用转化的思想解决问题，不仅在数学课上经常用到，在现实生活和学习中可以用吗？什么地方用到过？请举例说明。

生7：在曹冲称象的故事中，曹冲运用了转化的思想，把大象的重量转化成石头的重量，把不能分开称的物体转化成了能分开称的物体，得出大象的重量。

生8：在田忌赛马的故事中，田忌的好友孙膑发现赛马脚力差不多，可分为上、中、下三等，于是利用转化的思想帮田忌出主意，用下等马对付齐王的上等马，以上等马对付齐王的中等马，以中等马对付齐王的下等马，结果三场比赛，田忌一场败而两场胜，最终赢得齐王的千金赌注。

……

在整理和归纳单元知识的过程中，着力把本单元的知识网络与隐含的思想方法放在同等重要的位置，使学生的知识与能力获得双丰收，为他们的后续发展奠定了坚实的知识储备和能力储备。

二、在整理知识中渗透研究数学知识的策略和角度

六年级进入下册总复习阶段，多数教师都与学生一起归纳整理知识，学生学会了网络图、树形图、表格等各种整理知识的方法，整理知识的能力得到大幅度的提高，随着这样复习课的重复进行，教师的课堂少了一些思维培养方面的灵动，部分优秀的学生缺少了一些挑战性。六年级学生已经积累了较多的数学知识和较丰富的数学思想，如何让他们独立展开具有挑战性的研究？我以复习立体图形一课为例，说说我的做法。

1.课前布置预习作业。

（1）小学阶段学过哪几种立体图形？请画出它们的示意图。

（2）请用自己喜欢的方法整理这些立体图形的相关知识。

2.课始交流预习作业。

师：请拿出课前完成的预习作业，同桌交流整理的立体图形的相关知识。请大家一起回忆小学阶段学过的立体图形有哪几种？

生：长方体、正方体、圆柱体、圆锥体。

师：你知道了这些图形的哪些知识？

生：我们学习了这四种立体图形的体积计算方法，它们的计算方法分别是……，其中长方体、正方体、圆柱体体积都可以用底面积×高进行计算。

师：圆锥体的体积计算方法是如何得出的？

生：拿出两个等底等高的圆柱体和圆锥体容器，在圆锥体中放满水或沙子，倒入圆柱体中，三次正好倒满，由此得出等底等高的圆锥体体积是圆柱体体积的。

师：是用做实验的方法得出圆锥体的计算公式，做实验是进行科学研究常用的方法，在以后的学习或你长大了以后的工作中，可以利用实验的方法帮你攻克难题。

师：还知道哪些知识？

生：它们表面积的概念及计算方法，分别是……

生：这几个立体图形的特征，分别是……

师：就像大家总结的那样，研究一个立体图形的相关知识，一般从三方面展开：（1）这个图形长什么样？包括这个图形有哪几个要素组成，几个平面图形组成，每个图形有什么特征。（2）做这个立体图形需要多少材料，即它的表面积。（3）这个立体图形占多大的空间或它里面能放多少物品等，即它的体积。比如：对长方体的学习，我们可以概括出如下的知识网络图：

师：如果让你独立研究一个没有学习过的立体图形，你认为应该从哪几方面展开？如何研究？

生：像前面学习的立体图形的方法类似，可以从它的特点、表面积、体积三方面进行。

师：概括起来就是从以下几方面展开：

师：老师为每组同学准备了一个六棱柱，请大家用我们自己总结出的方法分组研究，把结果记录下来，可以参考老师的提示内容进行。

3.先进行分组研讨，然后交流展示，有疑问的可以在课后继续尝试。

一节数学课不仅要让学生理解或掌握一定的数学知识，形成一定的技能，更重要的是让他们感受到研究问题的角度，理解知识背后蕴含的思想方法，从而具备一定的独立解决问题的能力。通过这节复习课的展开，我试图让学生在梳理知识的同时，感悟一些研究立体图形的角度和方法，并试图培养学生的一种能力，给出一个没有学过的立体图形，自己尝试进行研究；这样的问题对学生来说，具有一定的挑战性，是考查学生能力的试金石，也是我们数学课的最终目的，在研究这个图形的过程中，学生独立解决问题的能力得到提高，数学核心素养的培养落到实处。

三、在整理知识中深刻感受数学的作用和价值

针对数学知识的学习，教师如果不能紧密地联系生活实际，学生感受不到学习这些知识的价值，体会不到所学数学知识在生活实践中的作用，就没有办法做到整体把握某方面的内容，也不能灵活运用知识解决问题。例如：北师大版五年级下册学生学习了方向与位置，期末的整理与复习中，出现了以下的学习片断：

师：在绛北大峡谷游玩的过程中，小敏迷失方向了。下图是绛北大峡谷平面图（1厘米表示500米），你怎样帮她找到出口？

生：以小敏的位置为观测点，在图中画出从出口到小敏的位置间的线段，观察方向，测量出角度和距离，就能找到出口。

生：要说明白行走的路线图，必须说清楚三方面的内容，方向、角度、距离。

师：还有其他的方法吗？

生：老师，还能用数对表示吧。

师：在生活中，什么地方见过用数对确定位置？

生：到电影院看电影，买的入场券写的是第几排第几号，这算是用数对表示位置吗？

师：这是用数对确定位置的雏形，因为担心有些人看不懂类似（3,9）这样的数对的意思，所以在入场券中注明是第几排第几座。还有吗？有没有大家约定俗成的？

（没有学生回答，我出示下图，并做如下引导：）

师：见过这样的地球示意图吗？图中横、竖标出的度数是什么意思？

生：在电视中听到过东经45°北纬30°发生了某件事这样的新闻，这个地球示意图中的横线、竖线应该表示这个意思。

生：地球上从南极到北极画的弧线是经线，东西方向画的弧线是纬线。

生：……

师：把地球的每个地方用经纬线表示有什么优势？我给大家举个例子，地球上海洋面积大于陆地面积，一艘轮船在茫茫的大海中航行，突然，轮船发生了故障，船上100多人面临生命危险，船长果断做出决定，向附近发出请求支援信号，应该怎样发信号，就能使其他人员很快找到遇险船只的位置？

生：用经度和纬度表示船只所在的位置。

师：茫茫大海上没有可参照的观测点，没有办法根据观测点确定位置。地球这么大，每时每刻都可能发生意想不到的事情，怎样能让全世界的人们形成共识，只要说到某一个地方，都能找到具体位置，于是诞生了这样的经线和纬线，如果把经线和纬线画在平面图上，就是下图的样子。

师：在这个平面图上，任意一点都可以用数对表示，这就是用数对确定位置常用的例子。任何数学知识的发明和创造都是现实生活的需要，都是为现实生活服务的，所以说数学是一门工具课，学好它可以帮你解决不少问题。

师：现在你知道可以用几种方法帮小敏找到出口了吗？请用自己喜欢的方法完成这个问题，并思考，什么情况下用数对确定位置，什么情况下用路线图确定位置。