基于Frenet标架的变截面涡旋型线构建与性能研究

侯才生，刘 涛

(兰州理工大学 机电工程学院，兰州 730050)

与往复式压缩机相比，涡旋压缩机具有结构简单、微振低噪、机械效率高、变频性能好等优点，已广泛应用于制冷、空调、涡旋增压器、涡旋膨胀机、涡旋泵等领域[1-3]. 涡旋型线是涡旋压缩机设计和研究的基础.

目前，涡旋压缩机常用型线主要有两大类：① 等截面型线，即涡旋齿为等壁厚的型线；② 变截面型线，即涡旋齿为非等壁厚的型线.等截面型线具有数学描述简单和易加工的优点，但不能充分利用毛坯材料并且压缩比较小.若增大等截面的压缩比，则需增加涡旋齿的圈数，使得涡旋齿的轴向泄漏线长度加大并导致涡旋压缩机的整体尺寸过大.虽然变截面型线的数学表述较为复杂，但可以用较少的涡旋齿圈数实现较大的压缩比，且缩短了工质在工作腔内的停留时间，从而有助于减少由轴向间隙引起的径向泄漏，提高效率，所以变截面型线成为国内外学者的研究热点.Liu等[4-5]建立了变径基圆涡旋压缩机的几何模型并采用有限元分析方法对其进行了优化.Shaffer等[6]运用控制容积的方法建立了变截面涡旋几何模型.王君等[7]利用圆渐开线与变径基圆渐开线的组合，得到了一种新型全啮合渐变壁厚的涡旋型线.彭斌等[8]提出了一种由圆渐开线-高次曲线-圆弧组合而成的变截面型线并建立了该变截面涡旋压缩机的数学模型.

虽然针对变截面涡旋压缩机数学模型的研究较多，但这些研究所使用的型线通常是由变径基圆渐开线、圆渐开线-变径基圆渐开线以及圆渐开线-高次曲线-圆弧组合而成，未能充分利用圆渐开线易于加工且性能较为稳定这一优势.针对上述问题，本文以圆渐开线为基础，利用Frenet标架，构建了一种新型的变截面涡旋型线，其特点为首末两段均选用圆渐开线，而中间用一段三次曲线来过渡，以达到减少涡旋齿圈数的目的.将新型的变截面涡旋型线与传统的由圆渐开线所组成的等截面型线进行对比，所得结论可为新型高效变截面涡旋压缩机的开发提供一定的理论依据.

1 涡旋型线的微分几何关系

图1所示为任意涡旋型线的微分几何关系示意图. 图中：M为型线切点；φ为型线切向角；a为基圆半径；α为单位切向量；β为单位法向量；Rn为切点处的法向分量，称为展弦；Rt为与Rn垂直的切向分量，称为任意渐开线基圆半径，且满足

(1)

图1 型线的微分几何关系示意图Fig.1 Schematic diagram of differential geometry relation for scroll profile

在平面直角坐标系中，曲线r可表示为

r=r(s)=(x(s),y(s))

(2)

式中：s为弧长.由微分几何理论，记型线在切点的切线与x轴正向的夹角为φ=φ(s)，则在切点处的单位切向量为

α(s)=(x′(s),y′(s))=

(cosφ(s),sinφ(s))

(3)

单位法向量为

β(s)=(-y′(s),x′(s))=

(-sinφ(s),cosφ(s))

(4)

由于α(s)为单位向量场，故有α(s)⊥α′(s)，所以α′(s)与β(s)存在如下关系：

α′(s)=κrβ(s)

(5)

式中：κr为平面曲线的相对曲率.

对式(3)求导，可得

α′(s)=φ′(s)(-sinφ(s),cosφ(s))=

φ′(s)β(s)

(6)

结合式(5)与(6)，得到

κr=φ′(s)

(7)

由平面曲线的基本公式可知，型线在切点处的曲率半径为

(8)

综合式(2)～(5)，得到平面曲线的Frenet标架{r(s),α(s),β(s)}沿曲线运动的公式为

(9)

利用Frenet标架的运动公式、初值(x(φ0),y(φ0))和式(8)，可以唯一确定涡旋型线的母线方程为

(10)

2 数学模型的建立

2.1 变截面涡旋型线

变截面涡旋型线的母线选用三段曲线来构建，如图2所示.其中，首末两段采用传统的圆渐开线，而中间引入一段三次曲线替换圆渐开线，以达到减少涡旋齿圈数的目的.

图2 变截面涡旋型线的母线Fig.2 Generating line of the variable cross-section scroll profiles

根据式(10)，首段圆渐开线的母线方程为

(11)

φ∈[0,φ1)

中间段三次曲线的母线方程为

(12)

φ∈[φ1,φ2)

末段圆渐开线的母线方程为

(13)

φ∈[φ3,φmax]

式中：φmax为型线的最大切向角.

φ1、φ2(φ3)满足构型曲线连续性和光滑性条件，则各段曲线的曲率半径函数可表示为

(14)

式中：a为首末两段圆渐开线的基圆半径；c0，c1，c2和c3为待定系数，其数值可通过

(15)

计算而得，计算过程中取初值

x0(φ0)=a，y0(φ0)=0

图3所示为根据法向等距线法[9]所生成的变截面涡旋型线.图中，AC为修正大圆弧；AB为修正小圆弧；BG为外壁型线的首段圆渐开线；CD为内壁型线的首段圆渐开线；GH为外壁型线的中间段三次曲线；DE为内壁型线的中间段三次曲线；HI为外壁型线的末段圆渐开线；EF为内壁型线的末段圆渐开线. 图中虚线部分是由1条圆渐开线构成的等截面涡旋型线. 可以看出，任意等截面的涡旋型线可以用较少圈数的变截面涡旋型线来代替，从而减少工作腔内压缩介质的泄漏量，增大涡旋压缩机的压缩比并提高整机效率.

图3 变截面涡旋型线Fig.3 Variable cross-section scroll profiles

2.2 工作腔容积变化分析

涡旋压缩机工作腔的容积是按照单个月牙形腔体从吸气开始，经过压缩，到最终排气结束这一整个过程进行计算的.令θ为曲轴转角，θ*为开始排气角，则吸气阶段定义为从θ=0至θ=2π的阶段；压缩阶段定义为从θ=2π至θ=θ*的阶段；排气阶段定义为从θ=θ*至排气结束的阶段.

2.2.1变截面涡旋压缩机容积计算 动、静涡旋相互啮合，构成一系列封闭的月牙形腔体，由内向外依次称为第1压缩腔(又称排气腔)、第2压缩腔和第3压缩腔，分别用①、②和③表示，如图4所示，图中Dmin为动、静涡旋啮合时的最小外径.气体工作腔从涡旋型线最外侧向内啮合的过程中型线会发生变化，使计算腔体容积的解析表达式不同，因此需分段计算压缩腔容积.

①—第1压缩腔，②—第2压缩腔，③—第3压缩腔图4 变截面涡旋压缩机的压缩腔Fig.4 Compression chamber of variable cross-section scroll compressor

(1) 当θ∈[0,φ2-φ1)时，第3压缩腔由末段的圆渐开线和中间段的三次曲线组成，此时腔体的面积为

A31(θ)=2Ror{L3+L2+[Rt(φ2)-a]}

(16)

式中：Ror为回转半径；L3为末段圆渐开线的母线长度；L2为中间段三次曲线的母线长度.

所以一对封闭月牙形腔体的容积为

V31(θ)=A31(θ)h

(17)

式中：h为涡旋体高度.

(2) 当θ∈[φ2-φ1，2π]时，第3压缩腔由首末两段的圆渐开线和中间段的三次曲线构成，这时腔体的面积为

A32(θ)=2Ror(L1+L2+L3)

(18)

式中：L1为首段圆渐开线的母线长度.

所以一对封闭月牙形腔体的容积为

V32(θ)=A32(θ)h

(19)

综合以上计算，得到在θ∈[0,2π]时，第3压缩腔的面积为

A3(θ)=A31(θ)+A32(θ)

(20)

第3压缩腔的容积为

V3(θ)=V31(θ)+V32(θ)

(21)

(3) 当工作腔由首段圆渐开线和修正圆弧组成时，排气腔由首段的4条圆渐开线和4条修正圆弧围成，如图5所示.图中，Am为修正齿头的轴向投影面积，

根据几何关系，其工作腔的面积为

a2(π-4δ)-2Am

(22)

式中：δ为渐开线发生角；φ为修正展角；λ为修正圆弧中心角；Rd为修正大圆弧半径；Rx为修正小圆弧半径.

工作腔的容积为

V11(θ)=A11(θ)h

(23)

图5 由修正圆弧与圆渐开线组成的排气腔Fig.5 The discharge chamber consisting of modified circular arcs and circle involutes

(4) 当工作腔完全由修正圆弧组成，即排气腔仅由4条修正圆弧围成时，排气腔如图6所示.其工作腔面积为

(24)

式中：γ为修正角.

工作腔容积为

V12(θ)=A12(θ)h

(25)

图6 仅由修正圆弧组成的排气腔Fig.6 The discharge chamber consisting of modified circular arcs only

2.2.2等截面涡旋压缩机容积计算 图7所示为一对相互啮合的等截面涡旋盘，形成3对封闭的腔体，从外到内依次称为第3压缩腔、第2压缩腔和第1压缩腔(排气腔).

①—第1压缩腔，②—第2压缩腔，③—第3压缩腔图7 等截面涡旋压缩机的压缩腔Fig.7 Compression chamber of constant cross-section scroll compressor

(1) 第i(i≥2)个压缩腔的工作容积.对于由圆渐开线构成的等截面涡旋型线，除第1压缩腔外，其余压缩腔的容积计算通式为

(26)

Vi(θ)=Ai(θ)h

(27)

i=2,3

式中：Pt为涡旋体节距；tb为涡旋体齿厚.

(2) 排气腔的容积.排气腔的容积与开始排气角以及齿头处的修正情况相关，由于本文均采用了双圆弧的修正方法，所以针对变截面涡旋压缩机排气腔的计算公式同样适用于等截面涡旋压缩机的排气腔.

3 性能研究

涡旋压缩机的几何性能与动力性能直接影响着涡旋压缩机的容积效率、机械效率和寿命. 为了定量对比变截面涡旋型线和等截面涡旋型线的性能，引入行程容积、压缩比和面积利用系数3个几何性能指标以及轴向气体力和切向气体力2个动力性能指标.

3.1 几何性能指标

3.1.1行程容积 行程容积对整机容积效率的影响较大且能改善涡旋压缩机的压缩性能.规定当θ=0时压缩腔闭合，此时第3压缩腔容积即为行程容积，用V3(0)表示.

3.1.2压缩比 压缩比ν可由下式计算：

(28)

式中：κ为气体的等熵指数，κ=1.19.

3.1.3面积利用系数 为定量表征涡旋盘的材料利用率，引入面积利用系数ε，

(29)

式中：A3(0)为θ=0时第3压缩腔横截面的面积.

3.2 动力性能指标

3.2.1轴向气体力 轴向气体力(Fa)是涡旋盘上承受的最为重要的气体作用力.在涡旋压缩机的压缩腔内，沿曲轴轴线方向作用在动涡旋盘上的轴向气体力，会使动涡旋盘沿轴向脱离静涡旋盘，从而增大了轴向的间隙，导致径向泄漏量的增加.其计算公式为

Fa(θ)=

(30)

式中：pi(i=1,2,3)为第i压缩腔的压力，其计算公式为

(31)

ps为吸气压力，ps=101.3 kPa.

3.2.2切向气体力 切向气体力(Ft)是由于相邻两个压缩腔气体压力不相等而对涡旋齿产生的作用力.由切向气体力产生的自转力矩不仅会阻止动涡旋的运动，而且会增大径向间隙，其受力分析如图8所示.图中：Lti(i=1,2,3)为第i压缩腔切向气体力的作用线长.

Ft的计算公式为

Ft(θ)=

(32)

图9所示为变截面涡旋型线和等截面涡旋型线构成的动涡旋所受气体力的变化曲线.其中：Fa1和Ft1分别为变截面型线的轴向与切向气体力；Fa2和Ft2分别为等截面型线的轴向和切向气体力.由图9可以看出，相比于等截面型线，虽然变截面型线所受的轴向和切向气体力的大小有所增加，但其变化幅度较小.

表1所示为等截面型线与变截面型线的几何性能指标对比.可以看出，相比传统的等截面型线，新构建的变截面型线的几何性能指标均显著提高，行程容积、压缩比以及面积利用系数分别提高了8.80%、10.57%以及8.84%.由此可见，新构建的变截面型线可提高涡旋压缩机的压缩比和整机容积效率.

图8 作用在动涡旋上的切向气体力Fig.8 Tangential gas force generated on the orbiting scroll

图9 轴向和切向气体力变化曲线Fig.9 Axial and tangential gas force variation curve

表1 两种型线几何性能指标对比Tab.1 Comparison of geometric performance indexes between two kinds of profiles

4 结语

采用微分几何理论研究了机械工程有形实体的建模问题，用Frenet活动标架构建了一种新的变截面涡旋型线并建立了该型线的基本几何理论，推导了工作腔容积计算公式，分析了该变截面型线的几何性能和动力性能.与传统的等截面涡旋型线相比，新构建的变截面涡旋型线的轴向气体力和切向气体力的大小有所增加，但其变化幅度较小；行程容积和面积利用系数分别提高了8.80%和8.84%，压缩比提高了10.57%.新构建的变截面型线可提高涡旋压缩机的压缩比和整机容积效率.